Demuestre el siguiente Lema
"Si f:R---R es una función continua en un punto k, existe un epsilon mayor a cero tal que f es acotada en el intervalo (k - epsilon, k + epsilon)
1 Respuesta
Por definición de función continua en el punto k, se tendrá que para cualquier epsilon>0 existirá un delta>0 tal que si |x-k|<delta si tiene |f(x)-f(k)|<epsilon
Lo que sucede es que en el enunciado han cambiado el papel natural de epsilon.
Entonces adecuándonos al enunciado será que por ser f continua tendremos, para todo delta >0 existirá un epsilon >0 tal que sí |x-k| < epsilon se cumplirá |f(x)-f(k)| < delta
|f(x)| - |f(k)| <= |f(x) - f(k)| < delta
|f(x)| < |f(k)| + delta
Luego f(x) está acotada cuando |x-k | < epsilon que dicho de otra forma es que f(x) está acotada cuando x pertenece al intervalo (k-epsilon, k+epsilon)
Y eso es todo.
