¿Solución a problemas de progresiones aritméticas?
Hola,
La semana que viene tengo examen de progresiones aritméticas... Estaba haciendo ejercicios sin problemas, pero he encontrado 2 en los que me he atascado.. Les rogaría que me echaran una mano si es posible.
Los enunciados son los siguientes:
1) La suma de los términos en los lugares pares de una progresión aritmética es 413/3 y la de los que ocupan los lugares impares 472/3.
Calcula el número de términos que la componen, sabiendo que este es un número impar. Calcula también el término central de la progresión.
Sé que la Sn (la suma total) es la suma de pares e impares, y que con ella puedo despejar a1, d y n a través de un sistema de ecuaciones utilizando los datos que me dan, pero estoy bloqueado y no sé como ejecutarlo.
2)El primer término de una progresión aritmética es 0,2 y su último 4,4. Si la suma de sus n primero términos es 34,5, con n finito, calcula cuánto vale el término a7
Veo el enunciado un poco abstracto y no acabo de entenderlo jajajajjajaaj
1 Respuesta
Beatriz Nunez!
¡Pues es un buen problema este!
Nos dicen que el número de términos es impar, luego supongamos que el número de términos será 2n+1
Con esto el número de términos impares será n+1 y el número de términos pares será n
Llamemos a al primer término y d a la diferencia
La sucesión impar tiene n+1 términos, el primero es a y el último a+2nd y la Suma es
Suma impares = (a+a+2nd)(n+1)/2 = (a+nd)(n+1) = 472/3
La sucesión de los pares tiene n términos, el primero es a+d y el ultimo a+2nd-d, la suma es
Suma pares = [a+d+a+2nd-d]n/2 = (a+nd)n = 413/3
La pena es que son 3 incógnitas y 2 ecuaciones luego no se pueden despejar tal cual
Si despejamos (a+nd) en ambas tenemos
(a+nd) = 472 / [3(n+1)]
(a+nd) = 413 / (3n)
Igualando
472 / [3(n+1)] = 413 / (3n)
472(3n) = 413·3·(n+1)
1416n = 1239n + 1239
177n = 1239
n= 1239/177 = 7
Luego el número total de términos era 2n+1 = 2·7+1 = 15
De esos 15 términos 8 son impares. Luego la suma de los impares es 4 veces la suma del primero y último, aquí tienes como sería
(a1+a15) + (a3+a13) + (a5+a11) + (a7+a9) = 4(a1+a15) = 472/3
a1+a15 = (472/3)/4 = 472/12 = 118/3
Y el término medio de una sucesión con un número impar de términos es la semisuma del primero y último
a8 = (118/3) / 2 = 118/6 = 59/3
Y eso es todo, a no ser que los ejercicios sean triviales se contesta uno en cada pregunta. Mándame el otro en otra pregunta.
Espero te sirva y hayas entendido este. Si no es así pregúntame, y si ya está bien no olvides puntuar.
