Suma de números enteros pares e impares que sea menor o igual que un número dado
Paula y Enrique consideran todos los números enteros positivos menores o iguales que 2013: Paula suma todos los pares y Enrique todos los impares. ¿Quién obtiene mayor suma y en cuanto supera a la suma del otro?.
Cuando puedas, no hay prisa.
1 respuesta
A simple vista se ve que va a ganar Enrique que suma los impares, pero vamos a comprobarlo calculando las sumas exactas.
Los números pares o los impares forman sendas sucesiones aritméticas y como tales se pueden sumar con la siguiente fórmula
Sn = n(a1+an)/2
Donde n es el número de términos que sumamos, a1 es el primero y an el último.
Enrique suma los impares entre 1 y 2013 debemos ser cuidadosos el contar la cantidad de números, a la izquierda va la cantidad y a la derecha el termino correspondiente
1 --> 1
2 --> 3
3 --> 5
.......
n --> 2n-1 = 2013
luego
2n-1 = 2013
2n = 2014
n = 2014/2 = 1007
Y con esto la suma es
Enrique = Suma 1007 impares = 1007(1+2013) / 2 = 1007(2014)/2 = 1014049
Paula suma los pares entre 2 y 2012, la sucesión es
1-->2
2-->4
........
n --> 2n = 2012
luego
2n = 2012
n = 1006
Paula = Suma 1006 pares = 1006(2+2012)/2 = 1006(2014)/2 = 1013042
Luego Enrique obtiene mayor suma como ya había anticipado y la diferencia es:
1014049 - 1013042 = 1007
Y eso es todo.
Como siempre tu explicación impecable, de todas formas es para explicárselo a un niño que todavía no ha dado sucesiones. Yo te he entendido perfectamente pero para explicárselo a él ¿Habría alguna forma un poco más sencilla? De nuevo muchas gracias
Este es un problema típico de sucesiones. Yo no recuerdo que me pusieran este problema antes de darlas. Pues lo que hay que hacer es decirle que sume los números primero y último de cada uno, luego segundo y penúltimo, tercero y antepenúltimo.
Para Enrique
1 + 2013 = 2014
3 + 2011 = 2014
5 + 2009 = 1014
Todas las parejas suman 2014. El problema es calcular cuantas parejas se forman.
Para ello probamos con unos pocos
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13
vemos que hay 7.
Más o menos se ve que faltan la mitad, luego calculamos la diferencia entre el primero y el ultimo y la dividimos entre dos
13-1 = 12
12/2 = 6
Vemos que falta uno, eso es porque se incluyen primero y ultimo
6+1=7
Luego deducimos que hay la mitad de la diferencia mas uno.
Y para convencernos lo probamos con otra sucesión
7,9,11,13
13-7 = 6
6/2 = 3
3+1 = 4
Luego está bien.
Volvemos al ejercicio de Enrique
La sucesión es
1, 3, 5, 7, ..., 2013
calculamos el número de términos de acuerdo con la mitad de la diferencia más uno
2013-1 = 2012
2012 / 2 = 1006
1006+1 = 1007
Son 1007 términos, luego el número de parejas es
1007 / 2 = 503.5
Esa media pareja que queda es porque el número de términos es impar, luego queda suelto el número del medio que es
(2013 + 1) / 2 = 2014 / 2 = 1007
Entonces hay 503 parejas y el número 1007 aparte
Muy arriba decíamos que cada pareja sumaba 2014, luego las 503 suman
503 · 1014 = 1013042
y le sumamos el 1007 que está suelto
1013042 + 1007 = 1014049
Si lo crees necesario se le puede enseñar que en vez de sumar las parejas y el número suelto por separado, lo que se hace es dividir entre dos lo que suma una pareja y así tenemos el promedio de lo que suma cada término y luego se multiplica por el número de términos. Así es como lo hacen en la fórmula.
Y ahora vamos con Paula.
El primer término es 2 y el último 2012. Cada pareja suma 2014
El número de términos lo calculamos dividiendo él ultimo entre 2
2016/2 = 1006
O lo calculamos con la misma fórmula que usamos antes que sirve igual para sucesiones qde pares o impares, la fórmula era la mitad de la diferencia más uno
2012 - 2 = 2010
2010 / 2 = 1005
1005 + 1 = 1006
Hay 1006 términos, luego hay un número entero de parejas
1006/2 = 503
y como cada una suma 2014
Suma = 503 · 2014 = 1013042
Luego
Enrique = 1014049 Paula = 1013042
Tiene más Enrique y la diferencia es
1014049 - 1013042 = 1007
Cuenta la anécdota que a uno de los más grandes matemáticos (o el mayor) llamado Gauss de pequeño les pusieron un castigo a toda la clase que no salían hasta sumar no sé cuantos números seguidos y el lo resolvió enseguida sumándolos de esta forma.
Pero Gauss era un genio, no veo yo que se ponga este problema sin estar estudiando sucesiones o habiendo estudiado un problema similar antes.
Y eso es todo.
Perfecto, muchísimas gracias, yo creo que con la segunda explicación le quedará más claro. Este año sí van a dar sucesiones, pero a final de curso, lo que pasa que el profesor siempre les pone un problema cada 15 días de lo que van a dar durante el trimestre, lo hayan dado o todavía no, a ver si alguno es capaz de resolverlo. Lo dicho, mil gracias.
