Álgebra Clásica, sumatoria, sucesiones, combinatoria

Son problemas de cierta envergadura, cada uno tendría que ir en una pregunta aparte.

Aparte el primero es tremendamente complicado, no hay por donde cogerlo. Seguramente se necesita una teoría que no aparece en el enunciado y no es nada fácil de deducir. Seguramente tu tendrás esa teoría o habrás hecho algún problema similar, es que sin ello no tengo ni idea. Si pudieras facilitarme el libro o explicarme algo me vendría bien.

Bueno, es que el lenguaje es poco claro vamos a ver si quieren decir esto. Al desarrollar ese binomio de Newton hay un término que tiene p^(-27)(c^46) calcular el coeficiente de dicho término.

Es que no es lo mismo decir factor que término, por eso confundían.

El termino k+1 del desarrollo es

$$\begin{align}&t_k=\binom{30}{k}\left(\frac{p}{5c}\right)^{30-k}\left(\frac{c^3}{p^2}\right)^{k}=\\ &\\ &\binom{30}{k}5^{-(30-k)} p^{30-k}p^{-2k}c^{-(30-k)}c^{3k}=\\ &\\ &\binom{30}{k}5^{k-30}P^{30-3k}c^{4k-30}\end{align}$$

Entonces se supone que debe existir k tal que

30-3k = -27

4k - 30 = 46

De la primera

3k= 57

k=19

Vemos si se cumple la segunda

4·19 - 30 = 76-30 = 46

Si se cumple, luego k=19

Entonces el coeficiente de ese término es

$$\binom{30}{k}5^{k-30}=\binom{30}{19}5^{19-30}=\binom{30}{19}5^{-11}$$

En el ejercicio nos dicen que eso es

54627300 · 5^(-11) = 1.11877

Y la parte b es

El término central es el asociado con k=15, luego el coeficiente es

$$\binom{30}{15}5^{15-30}=\binom{30}{15}5^{15-30}=\binom{30}{15}5^{-15}$$

Que en el ejercicio nos dicen que es

155117520 · 5^(-15) = 0.05083

¡Uff! Si que me costó entender que era esto, pensaba que tenía que tenía que saber física nuclear para entenderlo.

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En el de los botes:

Antes = 7

Primero = 7·(1/2)

Segundo = 7(1/2)^2

n-esimo = 7(1/2)^n

Luego en el sexto

7(1/2)^6 = 7/64 = 0.1094

La formula para la suma de n términos seguidos de una progresión geométrica es

S_n = a1(1 - r^n) / (1-r)

donde a1 es el primer término y r la razón

En este caso tenemos que sumar 12 botes y la distancia antes de primero, luego es una progresión de 13 términos

S_13 = 7[1- (1/2)^13] / [1- (1/2)] =

7 [1 - (1/8192)] / (1/2) =

7(8191/8192) / (1/2) =

(7 · 8191 · 2) / 8192 =

114674 / 8192 = 13.9983

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En el de la lluvia.

El dia 1 de mayo es como si fuese el 31 de abril

La luvia caída es

Día 5 ---> 130 - 0.05·1^2

Dia 6 ---> 130 - 0.05·2^2

Dia 7 ---> 130 - 0.05·3^2

Dia n ---> 130 - 0.05·(n-4)^2

Por lo tanto

Dia 31--> 130 - 0.05·27^2 = 130 - 0.05·729 = 130 - 36.45 = 93.55 mm

Imagino que en la parte 2 quieren decir las lluvias entre el 5 y el 30 de abril, podrían haber sido más claros.

El número de días es 30-5+1 = 26

La suma simplificando y sacando factor común será

Lluvia = 26·130 - 0.05(1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+ 26^2) =

Y aquí se podría calcular la suma de esos cuadrados, pero será mejor usar una fórmula que existe para la suma de los n primeros cuadrados

S_n = n(n+1)(2n+1)/6

S_26 = 26·27·53/6 = 6201

y la cantidad de lluvia es

lluvia = 26·130 - 0.05·6201 = 3380 - 310.05 = 3069.95 mm

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas. Pero un solo ejercicio encada pregunta.