Buscar razonadamente polígonos regulares en los que...
a) El número de diagonales sea el triple que el número de lados.
b) La medida del ángulo central coincida con la del interior.
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Gracias de antemano :)
1 Respuesta
a) La dificultad es saber la fórmula de las diagonales que tiene un polígono. Si está en el libro ya está. Si no, la tienes aquí:
http://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal
Y es muy sencilla de demostrar y la demuestra.
Diagonales = n(n-3)/2
La enunciado nos dice que esas diagonales son el triple que los lados, luego
n(n-3)/2 = 3n
n(n-3) = 2·3n
n^2 - 3n = 6n
n^2 = 9n
La primera respuesta es n=0, pero esa no nos sirve porque no hay polígono con cero lados. Dividiendo por n nos queda
n = 9
Luego es el polígono de 9 lados, el eneágono. O nonágono.
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b)
El ángulo central mide 360º entre él numero de lados.= 360º/n
El ángulo interior mide 180º(n-2)/n según podemos ver en
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior
Que se demuestra partiendo de un triángulo que miden 180º los tres ángulos. Si añades otro vértice se forma otro triángulo luego se añaden 180º más. Y por cada vértice que se añade al polígono se suman 180º grados más.
Con lo que la suma de todos los ángulos interiores es 180º(n-2) y si dividimos por n tenemos la medida del ángulo interior en los polígonos regulares.
Igualamos por tanto las dos cosas:
360/n = 180(n-2)/n
Por supuesto que supondremos que n es distinto de cero, entonces multiplicamops en ambos lados por n y nos queda
360 = 180(n-2)
360 = 180n - 360
720 = 180n
n = 720/180 = 4
Luego el polígono que cumple eso es el cuadrado.
Y eso es todo.
¡Muchísimas gracias, valeroasm! Gracias de nuevo por responder tan rápido y de una manera tan clara y completa a mi pregunta. ^_^
