Raíces de polinomio cúbico

Todo polinomio de grado 3 tiene al menos una raíz real ya que el limite en -oo es -oo y en +oo es +oo, por el teorema de Bolzano hay algún punto donde valdrá 0.

La fórmula para resolverlos es bastante difícil de recordar y algo complicada de hacer. Suele resolverse por métodos numéricos de aproximación y con el ordenador.

Si necesitas el método de resolución numérica de la raíz real pídemelo en otra pregunta distinta por favor.

Con ordenador usando el programa Máxima tenemos

allroots(x^3+7*x+7);

x = -0.89692199884573

x = 0.44846099942287 + 2.757417596957354 · i

x = 0.44846099942287 - 2.757417596957354 · i

Luego hay una real y dos complejas conjugadas.

Vamos a calcularlas con el método de Cardano, la primera vez que lo hago en la vida. Las explicaciones las tienes en el enlace

Wikipedia.Raíz cúbica.

Tenemos la suerte de que no está el término de x^2 eso ayuda bastante

$$\begin{align}&a_2=7\quad a_3=7\\ &\\ &Q= \frac{3·7}{9}= \frac 73\quad R=\frac{-27·7}{54}=-\frac 72\\ &\\ &\\ &S_1=\sqrt[3]{-\frac 72 + \sqrt{\frac{343}{27}+\frac{49}{4}}}\\ &\\ &\\ &S_2=\sqrt[3]{-\frac 72 - \sqrt{\frac{343}{27}+\frac{49}{4}}}\\ &\\ &\\ &\\ &x_1 =S_1+S_2\approx 1.143534792-2.040456791 \approx -0.8969219993\end{align}$$

Y bueno, haciendo las cuentas que aparecen en el enlace se obtienen las otras dos respuestas complejas que tienen que ser las que ya te decía arriba.

Y eso es todo.