Resolver la siguiente integral definida

Supongo que quisiste poner

$$\begin{align}&\int_1^e \frac{dx}{x(1+ lnx)}=\\ &\\ &\text {Hacemos el cambio:}\\ &t=lnx\\ &dt =\frac{dx}{x}\\ &x=1 \implies t=0\\ &x=e \implies t=1\\ &\\ &=\int_0^1 \frac{dt}{1+t}=\left. ln(1+t) \right |_0^1=ln \,2\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.