Calcula el perímetro de un triangulo isoceles

Dibuja el triángulo isósceles con el lado desigual arriba. Si trazas la altura divides el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos con 68º/2 = 34º en el ángulo de arriba y 90º-34º = 56º en el de abajo. Sea x la longitud de la hipotenusa de estos triángulos rectángulos.

La altura será

h = x·sen56º

La base de cada triángulo rectángulo será

b = x·cos56º

El área de cada triángulo rectángulo es bh/2, como son dos es bh

x·cos56º · x·sen56º = 23.72

x²·cos56º·sen56º = 23.72

x²=23.72/(cos56º·sen56º)

x = sqrt[23.72/(cos56º·sen56º)]

El perímetro es dos hipotenusas mas 2 bases de triángulo rectángulo

La base mide

b= x·cos56º =

$$\begin{align}&cos56º·\sqrt{\frac{23.72}{cos56º·sen56º}} =\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{23.72·\cos²56º}{cos56º·sen56º}} =\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{23.72·cos56º}{sen56º}}\\ &\\ &\\ &\text {y perímetro será}\\ &\\ &2\left(\sqrt{\frac{23.72}{cos56º·sen56º}}+\sqrt{\frac{23.72·cos56º}{sen56º}}  \right)=\\ &\\ &\text{Como sen(2x)=2senx·cosx}\\ &\\ &\\ &\\ &=2\sqrt{23.72}\left(\sqrt \frac{2}{sen112º} +\sqrt{ctg56º} \right)=\\ &\\ &\\ &22.30587453cm\\ &\\ &\end{align}$$

Bueno, lo hemos querido hacer muy matemático hasta el final, vamos a verificarlo y si acaso puedes usar este otro método donde se hecha mano antes de los números decimales.

x = sqrt[23.72/(cos56º·sen56º)] = 7.153019516 cm

b = x· cos56º = 7.153019516 · 0.5591929035 = 3.999917752 cm

p = 2(x+b) = 2(7.153019516+3.999917776) = 22.30587454 cm

Si, son lo mismo son cuentas complejas y se puede dar un poquito distinto según la forma de hacer las operaciones.

Y la comprobación completa es calcular la altura para saber si bh es el área

h=x·sen(56º) = 5.930121936 cm

bh= 3.999917752 · 5.930121936 = 23.72 cm²

Luego todo está bien.