Obtener volumen máximo, usando multi. De lagrange
Tengo que resolver este problema,
Debe aplicarse MULTIPLICADORES de LAGRANGE
Un PENTÁGONO es formado colocando un TRIANGULO isósceles sobre un RECTÁNGULO como muestra la figura.
Si el PENTÁGONO tiene un perímetro fijo de 100 cm. Determine las longitudes de los lados del PENTÁGONO de modo que su área sea máxima.
/\
/ \
/____\
| |
| |
|----|
tengo algunas idea de como resolverlo, pero no se como continuarlo
podría ser 2y + 2x + perimetro del triangulo (que no me acuerdo como es) = 100 cm.
Pero también esta el hecho de que la cara superior del rectángulo no debe tenerse en cuenta en el perímetro,
ya que estaría sumándose 2 veces. Porque formaría parte de la base del triangulo.
No se como armar la ecuación.
Tengo dudas de como debería ser el triangulo, lograr el máximo volumen
Opción 1.
Creo que el triangulo debería ser rectángulo, para explotar al máximo el volumen de la altura que tomaría el triangulo.
Opción 2.
Considerar el triangulo con el angulo lo más grande posible, casi 180º, entonces estaría muy cerca del volumen de rectángulo.
Bueno el que sabe de estos sos vos.
Debe aplicarse MULTIPLICADORES de LAGRANGE
Un PENTÁGONO es formado colocando un TRIANGULO isósceles sobre un RECTÁNGULO como muestra la figura.
Si el PENTÁGONO tiene un perímetro fijo de 100 cm. Determine las longitudes de los lados del PENTÁGONO de modo que su área sea máxima.
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tengo algunas idea de como resolverlo, pero no se como continuarlo
podría ser 2y + 2x + perimetro del triangulo (que no me acuerdo como es) = 100 cm.
Pero también esta el hecho de que la cara superior del rectángulo no debe tenerse en cuenta en el perímetro,
ya que estaría sumándose 2 veces. Porque formaría parte de la base del triangulo.
No se como armar la ecuación.
Tengo dudas de como debería ser el triangulo, lograr el máximo volumen
Opción 1.
Creo que el triangulo debería ser rectángulo, para explotar al máximo el volumen de la altura que tomaría el triangulo.
Opción 2.
Considerar el triangulo con el angulo lo más grande posible, casi 180º, entonces estaría muy cerca del volumen de rectángulo.
Bueno el que sabe de estos sos vos.
2 Respuestas
Respuesta de bradt
1
Para comenzar:
Si estás hablando de figuras planas (triángulo, rectángulo y pentágono) no tiene sentido hablar de volumen. Las figuras planas no tienes volumen, lo que tienen es área y perímetro.
Comencemos con la resolución del problema.
Para poder aplicar correctamente el teorema de multiplicadores de Lagrange es necesario que lo plantees y saques tu función objetivo f(x, y, z) y tu función restricción g(x, y, z).
El teorema es así :
Gradiente de L(x,y,z,&) = 0
& : Es el multiplicador de Lagrange
Donde:
L(x,y,z,&)= f(x,y,z) + & g(x,y,z)
Luego denotamos la figura:
/|\
z / |h\ z
/__|__\
| x |
y | |y
| |
______
x
Ahora bien:
La función objetivo es la que vas a maximizar f(x, y, z) que sería el área.
Por lo tanto el área del pentágono quedaría:
f(x,y,z)= Área Rectángulo+ Área Triángulo
f(x,y,z)= x*y + (x*h)/2
recuerda que h^2 = z^2 - (x^2)/4 por Pitágoras
Ya tienes tu función objetivo. Ahora buscas la función restricción g(x,y,z)
g(x,y,z)= Perímetro del Pentágono = 100 cm
g(x,y,z)= 2*y + x + 2z = 100
Con estas dos funciones ya puedes sustituir en el teorema y formar el sistema de ecuación correspondiente, para finalmente hallar x, y, z, que son los lados del pentágono.
Debes tener en cuenta que la ultima ecuación del sistema es g(x, y, z)=0
Recuerda hallar el gradiente a ambas funciones, fíjate bien en el Teorema.
Si estás hablando de figuras planas (triángulo, rectángulo y pentágono) no tiene sentido hablar de volumen. Las figuras planas no tienes volumen, lo que tienen es área y perímetro.
Comencemos con la resolución del problema.
Para poder aplicar correctamente el teorema de multiplicadores de Lagrange es necesario que lo plantees y saques tu función objetivo f(x, y, z) y tu función restricción g(x, y, z).
El teorema es así :
Gradiente de L(x,y,z,&) = 0
& : Es el multiplicador de Lagrange
Donde:
L(x,y,z,&)= f(x,y,z) + & g(x,y,z)
Luego denotamos la figura:
/|\
z / |h\ z
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| x |
y | |y
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______
x
Ahora bien:
La función objetivo es la que vas a maximizar f(x, y, z) que sería el área.
Por lo tanto el área del pentágono quedaría:
f(x,y,z)= Área Rectángulo+ Área Triángulo
f(x,y,z)= x*y + (x*h)/2
recuerda que h^2 = z^2 - (x^2)/4 por Pitágoras
Ya tienes tu función objetivo. Ahora buscas la función restricción g(x,y,z)
g(x,y,z)= Perímetro del Pentágono = 100 cm
g(x,y,z)= 2*y + x + 2z = 100
Con estas dos funciones ya puedes sustituir en el teorema y formar el sistema de ecuación correspondiente, para finalmente hallar x, y, z, que son los lados del pentágono.
Debes tener en cuenta que la ultima ecuación del sistema es g(x, y, z)=0
Recuerda hallar el gradiente a ambas funciones, fíjate bien en el Teorema.
Respuesta de masmate
1
Cada lado mide 20, es cuestión de hacer el dibujo.. si gustas esperarme a mañana y te mando el dibujo por e-mail.. no se si puedas proporcinarmelo para ser más ágil
Hola,
Lo que quiero saber es como se arma la ecuación de los MULTIPLICADORES de LAGRANGE.
Te paso mi correo, por si eso es lo que me pedís
[email protected]
Saludos de ezequiel
Lo que quiero saber es como se arma la ecuación de los MULTIPLICADORES de LAGRANGE.
Te paso mi correo, por si eso es lo que me pedís
[email protected]
Saludos de ezequiel
ok.. el mío es [email protected]