Pregunta sobre transformada de laplace

Los problemas de transformada de Laplace son de categoría, luego solo hago uno por pregunta y el hacer más de uno se supeditará a puntuar con 5 los anteriores. Hago el primero.

Calculamos la transformada de Laplace de los dos lados de la ecuación:

$$\begin{align}&\text{Sea} \\ &y =f(t)\\ &y'=f'(t)\\ &\\ &\text{denotemos}\\ &\overline y=\mathscr L\{y\}=\mathscr L\{f(t)\}\\ &\\ &\text{La teoría dice}\\ &\mathscr L\{y'\}=\mathscr L\{f'(t)\}=s·\mathscr L\{f'(t)\}-f(0)=s\overline y-f(0)\\ &\\ &\text{y la teoría también dice}\\ &\\ &\mathscr L\{1\}=\frac 1s\\ &\\ &\text{con todo esto}\\ &\\ &\mathscr L \{y'-y  \} =\mathscr\{1\}\\ &\\ &\text{por linealidad de la transformada}\\ &\\ &\mathscr L \{y'\}-\mathscr L \{y\}=\frac 1s\\ &\\ &s\overline y-\overline y = \frac 1s\\ &\\ &\overline y(s-1)= \frac 1s\\ &\\ &\overline y=\frac{1}{s(s-1)}\\ &\\ &\text{Y ahora hay que hallar la inversa de la transformada}\\ &\\ &\frac{1}{s(s-1)}=\frac{a}{s}+\frac{b}{s-1}=\frac{as-a+bs}{s(s-1)}\\ &\\ &\text{se decude}\\ &(a+b)s-a=1\\ &-a=1 \implies a=-1\\ &a+b=0 \implies -1+b=0\implies b=1\\ &\\ &\overline y = -\frac 1 s +\frac{1}{s-1}\\ &\\ &\text{Y mirando la tabla tenemos que la inversa es}\\ &\\ &y=-1+e^{-(-1)t}= e^t-1\end{align}$$

Y verificamos que está bien
y'- y = e^t - (e^t - 1)= 1
y(0) = e^0-1 = 1-1=0
Luego está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si quieres el otro puntúa 5 aquí y mándamelo en otra pregunta.