Calcular las ecuaciones de la circunferencia

1) dada la circunferencia de ecuación x2+y2-2x+4y-4=0, hallar centro y radio

Cuando una ecuación podamos expresarla en la forma

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

o

(x-a)^2 + (y-b)^2 - r^2 = 0

el centro será (a, b) y el radio r.

Por otra parte debemos tener en cuenta la fórmula del binomio de Newton

(t+s)^2 = t^2 + 2ts +s^2

La ecuación que nos dan es:

x^2+y^2-2x+4y-4 = 0

Para llegar al modelo de arriba tomamos los términos que tienen x, son

x^2 - 2x

eso es el comienzo del binomio (x-1)^2 porque

(x-1)^2 = x^2 - 2x +1

Luego

x^2 - 2x = (x-1)^2 -1

Hacemos lo mismo con los términos con y

y^2+4y es el comienzo del binomio (y+2)^2

(y+2)^2 = y^2+4y +4 luego

y^2+4y = (y+2)^2 - 4

Sustituimos estos valores en la ecuación

(x-1)^2 -1 + (y+2)^2 - 4 -4 = 0

(x-1)^2 + (y+2)^2 - 9 = 0

Y si lo queremos igualar hasta en el más mínimo detalle

(x-1)^2 +(y+2)^2 - 3^2 = 0

El centro será (1, -2) y el radio 3

2) calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto
de intersección de las rectas x + 3y +3 = 0, x + y + 1 =0 y su
radio es = 5

Has visto que tu problema tenia escrito "por" en lugar de equis, lo he corregido. Anda que no me desesperé yo hasta que me lo solucionaron, estuve 2 meses que no podía usar la equis contestando varias preguntas diarias.

Bueno, vamos con el ejercicio

Resolvemos la intersección

x+3y+3 = 0

x+y+1 = 0

A la primera le restamos la segunda y así desaparece la x. Nótese que no es necesario pasar el término independiente a la derecha, al fin y al cabo estamos sumando cosas iguales a un lado y otro

x+3y+3-x-y-1 = 0

2y+2=0

2y=-2

y=-1

Y ahora calculamos x en la segunda por ejemplo

x-1+1=0

x=0

Luego el punto de intersección es (0,-1). Ese es el centro y el radio es 5, luego la ecuación será:

(x-0)^2 + (y-(-1))^2 -5^2=0

x^2 + (y+1)^2 - 25 = 0

Y si se quiere dejar así es perfectamente lícito y como has visto en el ejercicio anterior sirve para ver de un vistazo cuál es el centro y el radio. Aunque supongo que querrán que efectúes el cuadrado e incluso puede que quieran que pases el término independiente al otro lado. Es todo cuestión de gustos.

x^2 + y^2 + 2y + 1 - 25 = 0

x^2 + y^2 + 2y -24 = 0

Y eso es todo.