Estadística, construcción de un intervalo de confianza
1- Por medio de una encuesta se obtuvo que el 20% de una muestra aleatoria de 1500 consumidores en la ciudad piensan adquirir automóviles nuevos en el próximo año. Determina la estimación a un coeficiente de confianza del 94% para la proporción real de habitantes de la ciudad que planean adquirir un auto nuevo el año próximo.
2- Al muestrear en forma aleatoria 25 de los 900 empleados de una cierta compañía, el gerente de personal encuentra que 17 prefieren el plan recientemente propuesto de trabajar solo 4 días de la semana, pero más horas cada día. Construya un intervalo de confianza para la proporción de todos los empleados que se inclinaron por la propuesta, con un coeficiente de confianza del 98.75%.
1 Respuesta
1) Tenemos una binomial con n=5000 y p'=0.2. El valor de n es considerablemente mayor que el 20 o 30 que suelen pedir, y el valor de p tampoco es muy pequeño. En esas condiciones se puede aproximar la binomial por una variable normal con
media = np'
desviación = sqrt[np'(1-p')]
y al final la teoría dice que el intervalo de confianza es
$$\begin{align}&I = p´\pm \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}·z_{\alpha/2}\\ &\\ &\text {Como p es desconocida se sustituye por p´}\\ &\\ &\alpha = 1- (confianza\;pedida)=1-0.94=0.06\\ &\alpha/2 = 0.03\\ &\\ &z_{\,0.03} \text{ es al valor que deja probabilidad 0.03 a su derecha}\\ &\text {o lo que es lo mismo 0.97 a la izquierda} \\ &\\ &tabla(1.88)=0.9699\\ &tabla(1.89)=0.9706\\ &Interpolando\\ &tabla(1.88+ (0.01/7))=0.97\\ &tabla(1.881429)= 0.97\\ &\\ &I=0.2\pm \sqrt{\frac{0.2·0.8}{5000}}·1.881429 =0.2\pm 0.00565685\\ &\\ &I = (0.19434315, \;0.20565685)\end{align}$$La norma que sigo es un ejercicio por pregunta salvo que sean muy sencillos. Si quieres que haga el otro mándalo en otra pregunta nueva tras puntuar esta.
