Probabilidad proporción media

La variable aleatoria es una binomial con n=400 y p=0.17
Se puede resolver a la antigua o a la moderna. Me temo que querrán que lo hagas a la antigua. Entonces consiste en aproximar la binomial por una normal con media=np y desviación estándar = sqrt[np(1-p)], que este caso será
media = 400 · 0.17 = 68
desviación = sqrt(400 · 0.17 · 0.83) =sqrt(56.44) = 7.512656
Para que esta aproximación de una variable binomial por una normal sea buena se deben cumplir una serie de detalles, que n >=30 y que p no sea muy grande ni muy pequeña, digamos entre 0.1 y 0.9. Ambas cosas se cumplen.

En un escrito de internet que vi las condiciones eran n>20 , np>=5 y n(1-p)>=5. También se cumplen las condiciones de este escrito.
Y luego está el problema de que la binomial es discreta y la normal es continua. SI tu pides la probabilidad de 20 por decir algo, en la binomial será una cantidad más o menos grande, mientras que en la normal es cero. Para solucionar esto a cada numero entero se la adjudica la probabilidad del intervalo [n-0.5, n+0.5], de esta forma se siguen estas operaciones.

Llamemos B a la binomial y X a la N[np, sqrt(np(1-p)] y k>=0 es un número entero
P(B=k) = P(X<=k+0.5) - P(X<=k-0.5)
Para intervalos se siguen estas reglas
i) Se resta 0.5 al número izquierdo si entra y se le añade si no.
Ii) Se añade 0.5 al número derecho si entra y se le resta si no.
Estas dos reglas se pueden expresar también como si entra un extremo se estira 0.5 el intervalo y si no entra se encoge 0.5. Teniendo en cuenta que por la izquierda se estira hacia la izquierda y por la derecha hacia la derecha.
Iii) Si en la binomial entra el cero por la izquierda equivale al -infinito de la normal
iv) Si entra el n por la derecha en la binomial equivale al +infinito de la normal
Por ejemplo
P(B<k) = P(0 <= B < k) = P(-infinito < X <= k-0.5) = P(X <= k-0.5)
P(B>=k) = P(k <= B <= n) = P(k-0.5 <= X <= +infinito) = P(X >= k-0.5) = 1 - P(X<=k-0.5)
P(k<B<j) = P(k+0.5 <= X <= j-0.5) = P(X<=j-0.5)-P(X<=k+0.5)
P(k<=B<j) = P(k-0.5 <= X <= j-0.5) = P(X<=j-0.5) - P(X<=k-0.5)
Y después de tanta teoría vamos con el problema.
1) El 20% de 400 es 20x400/100 = 80 personas
Como nos dicen más del 20% se toma en sentido literal, el 80 no sirve
La X es una N(68, 7.512656) que se tipifica en una Z ~ N(0,1) mediante
Z = (X-68) / 7.512656
P(B>80) = P(X>=80.5) = P[Z >= (80.5-68)/7.512656] = P(Z>= 1.66385896) =
1-P(Z<=1.66385896) =
Tabla(1.66) = 0.9515
Tabla(1.67) = 0.9525
diferencia = 0.0010
Valor para 1.66385896 = 0.9515 +0.0010 · 0.385896 = 0.951885896
= 1- 0.951885896 = 0.048114104
Veamos cuál sería el valor exacto calculado con Excel.
1- DISTR.BINOM.N(80;400;0.17;VERDADERO) = 1- 0.94954425 = 0.050455752
No se puede decir que fuera muy exacta la combinación de aproximar las variable aleatorias y calcular con una tabla de 4 decimales, pero era lo que tenían antes.

2) ¿Cuál es la probabilidad de que entre el 18% y 21% de las personas tengan ingresos grabables por más de $300 000?
18% de 400 = 18·4 = 72
21% de 400 = 21·4 = 84
Aquí no han sido claros respecto si entran los extremos o no, la preposición "entre" no es tajante. Voy a suponer que sí entran
P(72<=B<= 84) = P(71.5 <= X <= 84.5) =
P[Z <= (84.5 - 68)/7.512656] - P[Z <=(71.5-68)/7.512656] =
P(Z <= 2.196293827) - P(Z <= 0.4658805088) =
Interpolaré en la primera
Tabla(2.19) = 0.9857
Tabla(2.20) = 0.9861
diferencia = 0.0004
Valor para 2.1963 = 0.9857+ 0.0004 · 0.63 = 0.985952
Y en la segunda
Tabla(0.46) = 0.6772
Tabla(0.47) = 0.6808
Diferencia = 0.0036
Valor para 0.46588 = 0.6772 + 0.0036 · 0.588 = 0.6793168
= 0.985952 - 0.6793168 = 0.3066352
De nuevo haremos las cuentas exactas con Excel
P(72 <= B <= 84) = P(B<=84) - P(B<=71)=
DISTR.BINOM.N(84;400;0.17;VERDADERO)=0.98408167
DISTR.BINOM.N(71;400;0.17;VERDADERO)=0.68340876
=0.98408167- 0.72850985 = 0.30067291

3) ¿Entre qué limites cabe esperar que este el 90% de la proporción media de las muestras?
Tampoco son del todo claros, supondré limites centrados respecto de la media.
Si en torno a la media de una N(0,1) queremos tener el 90% dejaremos el 5% a cada lado
El límite derecho lo marcará el valor que hace que la tabla valga 0.95. Dicho valor es 1.645 y el izquierdo será -1.645
Ahora vamos a volver desde la N(0, 1) a la N(68, 7.512656)
1.645 = (X-68) / 7.51265
X = 1.645 · 7.51265 + 68 = 12.3583 + 68 = 80.3583
Y el limite izquierdo es lo mismo pero restando el radio
68 - 12.3583 = 55.6417
Luego los limites para el 90% de la proporción media son:
[55.6417, 80.3583]

Y eso es todo. Me gustaría saber si aun seguís resolviendo estos problemas tal como lo he hecho yo con aproximación a una normal y tablas o los resolvéis de alguna manera más nueva, porque con ese método viejo se hace muy pesado y no sé si se usa ya.

Hola lo que pasa es que creo que te confundiste de problema o hubo algún error al mandarlo pues la solución no corresponde al problema, muchas gracias.