Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisor
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?
1 Respuesta
Es una distribución binomial con n=50 y p=0.6
La particularidad es que nos piden la probabilidad de un intervalo. Esto puede hacerse de dos formas, una por cálculo directo ayudado por tablas de binomiales o por el ordenador y otra aproximando la distribución binomial por una distribución normal.
Estoy casi seguro que te piden resolverlo de la segunda manera, pero por si acaso confírmamelo.
Asi, es , es con la segunda, la distribución binomial por una distribución normal.
Saludos
Bajo ciertas condiciones se puede considerar que la distribución normal dada por
media = np
desviación = sqrt[np(1-p)
Es una buena aproximación para la binomial B(n, p)
Las condiciones dependen del autor. A mi me enseñaron que n sea mayor de 30 y que no fuese ni muy grande ni muy pequeña. En otros textos he leído que la condición más concreta es que np y n(1-p) sean mayores que 5
En nuestro caso tenemos una B(50, 0.6)
Con el primer criterio 50>30 y 0.6 es un valor intermedio entre 0 y 1 no es muy grande.
Con el segundo criterio tenemos np=30 y n(1-p)=20 que cumplen de sobras.
Entonces la normal tendrá estos parámetros
media = np = 30
Desvación = sqrt(50 · 0.6 · 0.4) = sqrt(12) = 3.464101615
LLamando Y a la normal es Y ~ N(30, sqrt(12))
Queremos la probabilidad del intervalo [35, 40] es importante que entren o no entren los extremos del intervalo, en este caso entran los dos. Cuando entra el extremo izquierdo para la normal se toma el extremo izquierdo -0.5, si no entra se toma ese extremo + 0.5. Y para el extremo derecho, si entra se le suma 0.5 y si no entra se le resta 0.5
Luego como entran los dos aproximamos la probabilidad por la de la normal Y en en intervalo
[34.5 , 40.5]
P(34.5 < Y < 40.5) = P(Y<40.5) - P(Y<34.5) =
P[Z <(40.5-30)/sqrt(12)] - P[Z<(34.5-30)/sqrt(12)] =
P(Z<3.0310889) - p(Z<1.299038) =
Los valores son
Tabla(3.03)=0.9988
Tabla(3.04)=0.9988
Tabla (1.29)=0.9015
Tabla(1.30)= 0.9032
Para 3.0310889 no es preciso hacer interpolación porque no hay diferencia de valores
Para 1.299038 redondeamos a 1.299 y al valor en 1.30 le restamos la décima parte de la diferencia. La diferencia es 0.0017, la décima parte 0.00017
Valor interpolado(1.299) = 0.9032 - 0.00017 = 0.90303
Y con esto la probabilidad es
= 0.9988 - 0.90303 = 0.09577
Y eso es todo.
