Problemas en frio Hexagon 250

Tengo un problema bastante tonto con mi Piaggio Hexagon 250 GT. El caso es que aunque siempre arranca bien, si hace frío le da por pararse al minuto o así. Que no aguanta el ralentí, vamos. Si en cambio la arranco con la pata de cabra puesta en vez de con el caballete, sí que aguanta en marcha, aunque eso sí, en cuanto la pongo vertical vuelve a pararse.
Una vez en marcha, si voy rápido todo funciona perfectamente, pero si voy despacio, entre coches, da tirones y no responde bien al acelerador (reacciona con retardo y va como ahogada). Además cada vez que me paro en un semáforo tengo que acelerar un poco, porque si no se para.
Lo curioso es que una vez empieza así la cosa ya sigue así todo el rato, aunque el motor esté ya caliente. En cambio, si tras andar con ella un buen rato, la paro y luego la cojo como a la media hora, todo funciona bien, sin problema alguno.
Me han comentado algo del estárter automático o no se qué, pero ¿eso cómo se toca o regula? (Si es que es eso, claro)