Problemas con mi gatita

Lo de que te lleve sus presas a casa tiene difícil solución. Es su instinto, y con eso es difícil luchar... salvo que la encierres. Es como si quieres evitar que un macho monte a una hembra en celo. No puedes enseñar eso, la única manera es la separación.
En cuanto a lo del pis... puedes probar a cambiar el tipo de bandeja, porque es posible que sea un problema de aversión a la misma. A veces a los gatos no les gusta la que tienen, y reaccionan de diversas maneras. Unos se niegan a usarla, otros la usan pero salen corriendo... Las causas más comunes de aversión a la bandeja son que ésta sea demasiado pequeña, que esté cerrada, que la arena esté sucia... También puede ser un problema de localización. La bandeja debe estar en un sitio de fácil acceso, y tranquilo. No la pongas cerca de electrodomésticos, ni de sitios demasiado ruidosos. Y a ser posible ponle más de una bandeja (la "regla" ideal es poner una bandeja por gato más una; es decir, si tienes un gato, dos bandejas, si tienes dos gatos, tres bandejas...). En cuanto al sustrato de la bandeja, lo mejor es arena no perfumada, aglomerante, y en cantidad suficiente. La arena ha de limpiarse todos los días, y ha de ser sustituida una vez por semana.
Espero que te sirva. Para cualquier cuestión, estoy a tu disposición.