Nudo propietario de mitad indivisa por herencia

Estoy perdida. Mi madre murió cuando yo tenía 5 años y, ahora, mi padre vive con otra señora en el piso que había adquirido con mi madre. Hace poco, mi padre me comentó que había decidido 'arreglar papeles' para que el día que él falte, su 'novia' pueda quedarse en el piso aunque la propiedad finalmente sea para mí. Mi interpretación de estas palabras, fue que le había dejado el piso en usufructo a su novia y a mi en nuda propiedad. Cabe puntualizar que la relación con mi padre es bastante complicada.
En secreto empecé a investigar, solicité una nota simple del registro de la propiedad y dice que los titulares son mi padre por una mitad indivisa en plena propiedad y de la otra mitad es usufructuario por herencia (interpreto que de mi madre), mi nombre también figura como nuda propietaria de la otra mitad indivisa por herencia (entiendo que de mi madre).
Mis pregunta son: 1. ¿Puede realmente haber dejado el piso en usufructo a su novia por su mitad o por el total del piso? 2. ¿Puedo utilizar mi nuda propiedad de la mitad indivisa para avalar? 3. ¿Puede mi padre vender el piso sin mi consentimiento?
Como he dicho estoy muy confundida porque ahora mi padre siempre dice que mi madre no era propietaria del piso, y claro no sé si lo dice para que crea que él tiene derecho de dejarlo en usufructo a su novia actual y yo no diga nada. Pero creo que mi madre no lo hubiese permitido de ninguna manera.