Alquiler de vivienda

Hola
Soy el propietario de una vivienda la cual he puesto en alquiler en una inmobiliaria,el
otro día fuimos a enseñar la vivienda a unas personas las cuales les
parecido bien y querían alquilármela y me dieron una señal de 400 euros
como reserva antes de la firma del contrato y yo firmé un recibo como
que recibía tal cantidad ,pues en ese mismo momento yo entregué esos
mismos 400 euros a la inmobiliaria como gastos de la gestión que realizarían.y
firmando su correspondiente recibo

El contrato se firmaría una semana después
Pues bien ,al día siguiente me
lo pienso mejor y decido no alquilar la vivienda a estas personas,pues
no me dan confianza y voy a la oficina a decirlo(no pasaron ni 12 horas
desde el inicio de la gestión) y ya se que lo tenia que haber pensado
antes pero en fin uno también se equivoca).
Bueno pues le digo a
la chica de la inmobiliaria que no les alquilo el piso a esas personas y
que si puede devolverles el dinero que yo le di a ella y me dice que
no,que el dinero se lo tengo que dar yo y que ella se queda con los 400
euros por la gestión que a iniciado( Pero que no a finalizado al echarme
yo atrás)
La solución que ella me da es que se queda los 400
euros a cuenta y me busca otro inquilino pero a mi me parece que esa
solución es un poco egoísta y de ser buitre por su parte pues yo tengo
la vivienda en mas inmobiliarias y de esta forma me obliga a elegir solo
sus clientes
Mi pregunta ¿Es legal lo que quiere hacer? Y estoy
yo obligado a darle los 400euros a estas personas que querían alquilar
mi vivienda? Supongo que esto ultimo si que tendré que cumplirlo pues
ellos me dieron a mi la reserva pero si es así yo también quiero
recuperar los 400 euros por una gestión no hecha

Gracias de antemano!!!