¿Marketing?

(xxxxxx),
perdona por la tardanza.
Muy buena pregunta. Es cierto que cotidianamente se utilizan ambos términos para hablar de lo mismo, incluso, se relaciona despectivamente con propaganda. Seguro que se te ocurren muchos ejemplos.
La realidad es que el Marketing y la Publicidad no son lo mismo aunque si tienen mucha relación. Si recurrimos a una de las definiciones del Marketing: Las "4 Pues", son las herramientas del Marketing: Producto, Precio, Distribución (Place en inglés) y Promoción (dentro de la cual estaría la publicidad). El profesional de Marketing debe saber de publicidad pero no se encarga de "hacerla".
El Marketing tiene una visión más de negocio, más económica y estratégica. La Publicidad, un punto más creativo, persuasivo e innovador. La publicidad es uno de los principales apoyos de las empresas pero tradicinalmente su producción corre por empresas agenas a ellas, las agencias de publicidad.
Profesionalmente y simplificando mucho la cosa.
Un especialista en Marketing trabajará en un departamento de Marketing de una empresa o en una consultoría. Su objetivo final es vender y para ello utiliza las herramientas de marketing (mix), para que sus productos se conozcan, sean populares y deseados, para definir una estrategia de precios, unos canales de distribución y para analizar que tipo de producto vender (envase, presentación, colores, sabores, etc.)
Un especialista publicitario trabajará en una agencia de publicidad. A partir de aquí multitud de variantes. Puede ser un creativo, que imagine o cree aquella campaña de publicidad que su cliente (marca) necesita, puede ser un reposable de cuentas, que esté en contacto con responsables de marketing y coordine a los equipos creativos, etc.
Te pueden ayudar algunas definiciones de Wikipedia:
- Marketing
- Publicidad
Espero no haberme enrollado mucho y, sobretodo, haber aclarado tus dudas.
En cualquier caso, no dudes en plantearme cualquier aclaración

La verdad es que me ha aclarado bastante pero ahora se me presenta una duda y querría pedirle su opinión ¿qué cree que me convendría más hacer ADE (cuyo último año puede especilizarse en marketing) y luego máster en publicidad o un doble grado de ADE + Publicidad?

Creo que lo simplificas mucho. A primera vista te interesa más lo primero, en 5 años probablemente tendrías un carrera y un master.
Pero debes valorar más cosas:
- El centro de estudios: Universidad privada/pública, escuela de negocios, etc. ¿Cómo de reconocidas están en el entorno empresarial? ¿Qué entorno te vas a encontrar? ¿Instalaciones? ¿Actividades paralelas: cursos, seminarios, ponencias, etc.?
- Posibilidades de erasmus o salidas al extranjero. Debes acabar la carrera dominando al menos el inglés. Y te aportará una visión más amplia, algo que no aprenderías en España. Y si tu especialidad preferida es la publicidad, te servirá para conocer que y como se comunica en otros países.
- Bolsa de prácticas: Para realizar prácticas en empresas mientras estás estudiando o recién licenciado
- Salidas profesionales: ¿Qué posibilidades de encontrar trabajo te ofrecen?
Valora también que a un master se le saca más partido con unos años de experiencia. Normarlmente los alumnos son gente que ya trabaja y de ellos podrás aprender tanto o más que de tus profesores, sin olvidar el punto de "contactos" (al conocerles a ellos) en empresas del sector .
Al final la decisión es sólo tuya y tampoco te abrumes pensando que te vas a equivocar, siempre puedes hacer pequeñas correcciones hasta encontrar aquello que más te guste.