Botón html

¿Estas usando php? Si es así la cosa es sencilla. Simplemente usa la función mail de php dentro de la función que usas para tratar el formulario. Como quieres enviar dos correos, que no veo por que no mandas todo en un solo correo, tendrás que usar la función dos veces. Algo más o menos así:
 mail($direccion_correo, 'Asunto', $mensaje);
mail($direccion_correo, 'Asunto', $mensaje2);
Para esto previamente tendras que haver guardado ciertos datos en las variables que ves.
$direccion_correo ->esta variable guardara la direccion de correo que el usuario introduce en el formulario. Supongamos que estas enviando el formulario por el metodo POST y que el campo donde el usuario intorudce el email se llama email, entonces la variable quedaria asi:
$direccion_correo = $_POST['email'];
$mensaje ->esta variable solo guarda el mensaje que quieras decir, algo como:
$mensaje = "Gracias por inscribirte... etc etc";
$mensaje2 ->esta contiene todos los datos del formulario. Es basicamente lo que ya mandas en tu formulario actual.
Si tienes más dudas avisame.

Bien, es un poco complicado.
El botón envía los datos a donde le indicas en el formulario. Si añades más botones en el mismo formulario, siempre enviará a la misma dirección. Además, para recoger los datos que introdujiste en el formulario (la dirección de correo) y enviar los datos a esa dirección te aconsejaría que usaras php. Si no sabes php, es relativamente fácil iniciarse y hay manuales en la web que te pueden ayudar.
Con php puedes recoger en un página los datos del formulario (la dirección de correo) y luego en esa página generar un email que se envíe a través del servidor de correo que tengas configurado en esa máquina.