Ante todo decirte que no soy experto en Php, pero intentaré ayudarte.
En primer lugar, el Html no esta bien construido. Debes poner:
<label for="nombre">Nombre</label>
<input name:"nombre" id:"nombre" size=25 />
Es decir, cerrar el label antes de abrir el input o textarea.
Luego viene lo que creo es más importante: ten en cuanta que PHP en 'case-sensitive', o sea que distingue entre mayúsculas y minúsculas. Y tu pones cosas como name="nombre" y luego buscas el POST_[Nombre], con lo cual no lo encuentra. Lo mismo cuando buscas la $fecha o $hora, y luego listas la $Fecha y $Hora. Repasa muy bien todo esto. Yo te aconsejaría ponerlo todo en minúsculas y fuera problemas
Y también te lías entre $headers y $heather. Repasa bien los nombres de todas tus variables, que coincidan exactamente.
Tu otro problema no es tal, sino que es así como funciona: al responder el mail, te manda al hosting que es, en realidad, quien te lo ha enviado a ti. Por tanto el sistema responde al remitente, claro. Para responder tu a la persona que te ha contactado, debes abrir un mail nuevo y poner la dirección que te han dado.
Miquel