Modem

Yo lo que trataría es comprobar el cable de teléfono del MODEM ya que el MODEM parece ser que está bien al cortar la comunicación (colgar) pero la línea de teléfono nota una derivación (posiblemente por el cable que se dirige al MODEM) y al tener esa derivación de corriente la línea nota que alguien tiene descolgado un teléfono y por lo tanto no se cuelga. También por precaución revisaría los cables que se dirige a los otros teléfonos que tienes en la casa.
Si tienes contrato de mantenimiento con telefónica llámales y te lo arreglan sin coste ( teléfono para preguntar 1004 ) o si no llama a un electricista.
Para estar seguros y ver que el MODEM esta mal (o bien) pon por 1 semana un teléfono en vez de el MODEM y comprueba lo que ocurre, si sigue pasando lo mismo mi teoría es cierta en caso contrario puede ser que este el MODEM mal con lo cual no tiene más solución que cambiarle o seguir así.
También te advierto que los MODEM son los aparatos muy sensibles a las tormentas llegándose a estropear por la línea de teléfono (aunque estén apagados) con lo cual te comento que si sospechas que fue de una tormenta este tipo de cosas entra en toda clase de seguro de hogar. Si vives por Cantabria llámame 26 09 97.

¿Has probado a conectarte a la web del fabricante de ese modem?
Es posible que el problema tenga su respuesta en la página (100% fijo), ya que es un error muy molesto, y fijo que hay una actualización de drivers para tu sistema operativo... imagino windows o algún tipo de parche para evitar ese error.
De todas formas... siempre puedes reinstalarlo desde cero...

Vamos a checar primero si hay conexión entre el modem y el sistema para eso te vas
a panel de control/modem/diagnostico/eliges el puerto com de tu modem y das click sobre más info.. ¿que te aparece==?
¿Qué Sistema Operativo Tiene?
Hay una manera de colgar el modem y es dando un comando desde una terminal
el comando ATZ (reinicia ek modem)
ATA (responde)
ATD (dialing)
ATH (cuelga)
Por ejemplo el Cheyene Bitware, trae un software, que emula una terminal donde puedes ejecutar ese comando cuando no cuelga.. pero veamos los anterior si no ya tienes otra solución
Atte: A+ CompTIA Certified

Tu módem es un winmodem y ese error es muy típico de los drivers. Bajate los últimos de la página del fabricante e instálalos porque así se soluciona el problema.

Por lo que comentas creo que puede ser algo de drivers, aun que tengas los correctos, quizás no los tengas actualizados, bajate de la web del fabricante la ultima version.
Si actualizando los drivers no te funciona te recomiendo que pruebes con otro modem, por ejemplo de algún amigo, esa operación lo que consigue es descartar el fallo del modem actual y así poder acotar donde puede estar el problema.
Si funciona con otro modem, esta claro que el tuyo esta averiado, si sigue fallando podría ser cosa del Sistema operativo o bien de la linea telefónica. Pero creo que seria cosa del SO, revísalo y si hace falta reinstálalo.
Espero haberte ayudado, saludos,
CRAF