Puedes usar las funciones:
Si deseas copiar un solo archivo:
GetFileOpenName: Muestra el sistema de cuadro de diálogo Abrir archivo y permite al usuario seleccionar un archivo o escriba un nombre de archivo.
GetFileSaveName: Muestra el sistema de cuadro de diálogo Guardar con el nombre de archivo especificado en el cuadro Nombre de archivo. El usuario puede introducir un nombre de archivo o seleccionar un archivo de la lista gris.
Si son varios archivos:
GetFolder: Muestra una selección de la carpeta cuadro de diálogo.
DirList: Rellena un ListBox con una lista de archivos. Puede especificar una ruta, una máscara, y un tipo de archivo para restringir el conjunto de archivos que se muestran. Si la ventana tiene asociado un control de StaticText DirList puede mostrar la unidad actual y el directorio.
FileCopy:Copia un archivo a otro, opcionalmente, sobrescribir el archivo de destino.