Internet con una de 2 tarjetas de red

¿No entiendo bien el escenario pero por lo poco que puedo ver parece que tienes un router pero solo le da acceso a una pc?
No entiendo bien, ¿me podrías explicar mejor?

¿Qué sistema operativo tienes? ¿Y tienes idea que ip maneja el router?

A ver si entiendo la topología es un poco confusa
Osea tienes una pc conectada con una placa de red a una red interna (sin internet) y quieres conectar otra placa de red de la misma maquina a un modem router definitivamente esta placa debe estar mal configurada primero tienes que fijarte que aprescan las dos placas de red en mis sitios de red(Xp), propiedades sobre la conexión fíjate que ninguna diga desconectada en las propiedades fíjate si te aparece el TCP/IP dale optener IP Automáticamente a la placa del modem router, en cuanto a la configuración del modem rourter esperemos este bien configurado, siendo DSL me imagino tienes instalo algún programa dialer como el WINPOET espero que tengas bien los datos de la cuenta y demás cualquier otra consulta deberías hablar con la gente que te provee el servicio deberían asesorarte como onfigurarla conexión espero que te sea de ayuda SUERTE!

¿Por qué no pones un switch para compartir la conexión principal?
Para mi esa seria la mejor opción, porque si compartes internet desde la PC principal al apagarla la otra no podría navegar, y con el switch o hub no te metes en ese lio.
Alguna duda me avisas.

La configuración de Internet no debe tener nada que ver, aunque seguramente te dará un error cuando configures la segunda puerta de enlace en la PC, ¿Qué sistema operativo usan?, ¿Esta correctamente configurada la placa para conectarse al Router ADSL? (Puerta de enlace, DNSs, etc)
Y como última opción, es posible configurarlo para usar una u otra puerta de enlace para salir a la otra oficina o a internet, espero que te sirva, cualquier cosa no dudes en preguntar, Un Abrazo.

En el ordenador que tienes internet busca una opción que pone "compartir acceso a internet, " no recuerdo exactamente el nombre, pero es relativamente sencillo, una vez le has dado compartir, has de configurar el otro de forma que le has de poner como puerta de enlace la ip del otro ordenador, (el que si tiene internet)
He mirado y se encuentra en inicio / programas / accesorios / comunicaciones / asistente para una comunicación nueva, y sigues las intruccione que te da.

Para responder correctamente necesitaría más datos, por ejemplo:
¿Qué direcciones IP utilizas en ambas tarjetas?
¿Cuáles son las puertas de enlace?
¿Cuáles son las direcciones de red?
¿Si sólo utilizas la tarjeta del router adsl, puedes conectarte a Internet?
Ya dirás algo.

Cierto que debería funcionar con dos tarjetas, pero si tienes buscar conexión automáticamente configurado en la configuración de internet explorer.
Intuyo que esa configuración de la red la tengan puesta a propósito para que no podáis acceder a internet por lo que es complicado saltárselo, ya que posiblemente tengan ese router configurado como bridge o puente al otro router que SI se conecta a inet y que tiene cortafuegos, y normas para que ese primer router no tenga conexión fuera. Aunque pongas en ese pc que quieres conectar la dirección ip de la puerta de enlace del router que SI se conecta a internet cuando la señal sale de tu pc, se convierte con la lista de ips que tiene el router que NO se conecta a internet y sale al otro router en el cual, esta escrito que NO se va a conectar a internet todo lo que salga con esa IP que viene del otro Router y del pc que queréis conectar.
Por lo tanto por vías normales creo que no se puede, a no ser que podáis meteros en la configuración del router conectado y modificar las entradas para que el otro router pueda salir.
Suerte

Si no tiene internet por que no tu pc no ve el DG que estas poniendo del router, para que lo pueda ver tienes que instalar un programa que enrute los paquetes de un lado para otro y puedan pasar por la tarjeta de red que has puesto, esto se hace por medio de un proxy o de un programa que simule un router que hay muchos, uno de los mejores es el kerio qin route, esta es una de las muchas maneras que hay para hacerlo, otra seria poniendo un SW y este lo conectarías al cable que te dan en el que ya tienes internet que según entendí viene del router, lo que hay que hacer es configurar el resto de equipos o el otro pc con el mismo DG y que estén en la misma red, si es el caso copias los DNS y listo te debe funcionar