Demostraciones sobre esperanza condicional 1
Para el siguiente problema, nos piden realizar una demostración o probar la siguiente igualdad:
$$\begin{align}&E[I_A ]=P(A)\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Amo Mo!
I sub A es la función indicadora de A. Es una variable aletoria, por ello es posible calcular su esperanza.
Para todos los elementos del espacio muestral Omega la función indicadora toma los valores
I sub A (w) = 1 si w € A
0 si w /€ A (donde mne he inventado el símbolo /€ como "no pertenece"
Entonces si A = {a1, a2, ....., an} la esperanza sera
$$\begin{align}&E(I_A)=\sum_{w\in \Omega}[I_A(w)·p(w)]=\\ &\\ &=\sum_{w\in A}[1·p(w)] + \sum_{w \notin \Omega}[0·p(w)]=\\ &\\ &\sum_{w\in A}p(w) + 0 = P(A)\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias! por el desarrollo del problema, le agradezco su apoyo.
saludos.
Hay un pequeño fallo, en el segundo sumatorio puse w no perteneciente a Omega y es no perteneciente a A. Mejor lo escribo todo
$$\begin{align}&E(I_A)=\sum_{w\in \Omega}[I_A(w)·p(w)]=\\ &\\ &=\sum_{w\in A}[1·p(w)] + \sum_{w \notin A}[0·p(w)]=\\ &\\ &\sum_{w\in A}p(w) + 0 = P(A)\end{align}$$
