Realiza las siguientes divisiones entre polinomios usando la división sintética y al final verifica que se cumpla lo establecido

$$\begin{align}&(1)\\ &\\ &4x^3-5x^2+3x-\frac{15}{4}:4x-5=x^2+\frac{3}{4}\\ & -(4x^3-5x^2)\\ & \hline \hspace{3cm} 3x-\frac{15}{4}\\ & \hspace{24mm} -(3x-\frac{15}{4})\\ & \hline\hspace{45mm} 0\\ & \end{align}$$

$$\begin{align}&(2)\\ &\\ &6x^3+10x^2+x+8:2x^2+1=3x+5\\ &-(6x^3+3x)\\ &\hline \hspace{3cm} 10x^2-2x+8\\ &\hspace{24mm} -(10x^2+5)\\ &\hline\hspace{55mm} -2x+3\end{align}$$

Como vemos en el segundo ejercicio no, nos entrega resto 0, pues (-2x+3) no es divisible por 2x^2+1, entonces (-2x+3) es tu resto o residuo y el resultado es (3x+5)
Podemos comprobar por el algoritmo de la división de polinomios.

$$\begin{align}&\frac{6x^3+10x^2+x+8}{2x^2+1}=3x+5+\frac{(-2x+3)}{2x^2+1}\\ &\frac{6x^3+10x^2+x+8}{2x^2+1}=\frac{6x^3+10x^2+3x+5+(-2x+3)}{2x^2+1}\\ &\frac{6x^3+10x^2+x+8}{2x^2+1}=\frac{6x^3+10x^2+x+8}{2x^2+1}\\ &6x^3+10x^2+x+8=6x^3+10x^2+x+8\end{align}$$

Bueno los pasos no son muy difíciles la idea principal, es ordenar siempre el dividendo y divisor de manera descendente en grados.

Luego para obtener el primer termino del cociente, se debe dividir el primer termino del dividendo con el primer termino del divisor. Para el segundo es lo mismo pero se divide el resto parcial con el segundo termino del divisor y así sigues hasta dejar resto 0, o llegar a algo irreducible.

Recuerda siempre multiplicar los términos que se dan en el cociente por todos los términos del divisor, los colocas bajo el dividendo y los restas, para así obtener el resto parcial o absoluto

Juan Arredonde!

Únicamente el tercer ejercicio está preparado para hacerse por división sintética de forma inmediata. El primero puede hacerse, pero hay que dar un paso previo que no sé yo cuántos alumnos de colegio lo conocerían. Y el segundo es un caso superespecial, donde habría que dividir sintéticamente dos veces y con ¡Números complejos!

Me parece que es muy complicado si se trata de ejercicios de colegio.

Entonces te pregunto.

¿No habrás querido decir división larga en lugar de división sintética?

Y en caso de que sea sintética, ¿Seguro qué el divisor del segundo ejercicio tiene cuadrado en la x?

Sea cual sea el enunciado yo te lo hago porque se puede hacer, pero primero te manifiesto las dudas que tengo con el enunciado para ver si es que estaba mal.

La contestaré aunque no aclares las dudas!

Pero no olvides puntuar a los expertos que constestamos ya que nos ha costado nuestro trabajo y han sido tres ejercicios en lugar de 1

1)

(4x³-5x²+3x-15/4)  / (4x-5)

Como la divisón sintética solo sirve para divisiones entre (x-a) dividiremos primero el dividendo y el divisor entre 4

(x³-5/4x²+3/4x-15/16)  / (x-5/4)

Y ahora planteamos la regla de Ruffini

         1    -5/4     3/4    -15/16

5/4           5/4        0      15/16

------------------------------

1 0 3/4  | 0

Luego es una división exacta, el cociente es

x² + 3/4

Y el resto es 0.

La verificación por el teorema del resto es comprobar que el valor del polinomio del dividendo evaluado en 5/4 es 0

4(5/4)³ - 5(5/4)² + 3(5/4) - 15/4 =

4(125/64) - 5(25/16) + 15/4 - 15/4 =

125/16 -125/16 +15/4 - 15/4 = 0

2º)

No se puede hacer por división sintética ua que la x está al cuadrado y además el divisor tiene raíces complejas, lo he intentado hacer en dos pasos pero es muy lioso y difícil de explicar. Luego si acaso lo hacemos por división larga.

 6x³   +   10x²   +   x   +   8       | 2x² + 1

-6x³                 - 3x                   ---------

-------                 -----                   3x + 5

   0                   -2x

         - 10x²                 -  5

         ---------                -----

            0                       3

Y el cociente es 3x + 5   y el resto   -2x + 3

Esta vez no se puede verificar por el teorema del resto, hay que usar ola definición de división

D = c·d + r

Veamos si el cociente por el divisor más el resto es el dividendo

(3x+5)(2x²+1) - 2x + 3 =

6x³ + 3x + 10x² + 5 - 2x + 3 =

6x³ + 10x² + x + 8

Que es el dividendo, luego está bien.

3)

Este era el único ejercicio típico de colegio.

(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - x + 1)  / (x - 2)

He puesto los exponentes de acuerdo a como se escriben con teclado, he visto que el 4 lo tenías como subíndice en vez de exponente, y además que cuesta muchísimo excribir los exponentes como superíndices y además se distinguen mucho peor unos de otros.

1 -2 4 -1 1

2 2 0 8 14

----------------------------------

1 0 4 7 | 15

Luego el cociente es

x^3 + 4x + 7

Y el resto es

15

Para verificar por el teorema del resto el valor del dividendo en x=2 debe ser 15

2^4 - 2·2^3  + 4·2^2  - 2 + 1 =

16 - 16 + 16 - 2 + 1 = 15

Luego está bien.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.