¿Cómo puedo justificar al igualar cada factor de un polinomio igualado a cero?
Hola Valero
En las clases siempre me preguntan muchas cosas, que cada paso de un procedimiento, tiene que ser justificado. Al tener un polinomio ya factorizado o sea (x - ro)(x - r1)...(x - rn) = 0, pasamos a que x - ro = 0, x - r1 = 0, ..., x - rn = 0, pero ¿por qué cada factor lo igualamos a cero? Sé que es obvio porque si un factor es igual a cero, es una solución, pero ¿eso será un teorema o como puedo justificar ese paso?.
Espero su ayuda, ya que si no justifico bien cada paso, se enoja la maestra fuertemente en Variable Compleja.
2 Respuestas
Es eso, si el polinomio es factorizado para que el polinomio sea 0, 1 de los factores ha de ser 0
Esta es más una pregunta de Algebra que de Análisis o Variable Compleja. Y la verdad que el Algebra la tengo algo olvidada.
Hay anillos conmutativos con unidad (aunque a lo mejor tampoco son obligatorias esas dos condiciones) que son dominios de integridad. Un dominio de integridad es un anillo sin divisores de 0, es decir, no hay dos números distintos de 0 tales que su producto sea 0.
Luego en un dominio de integridad si se cumple la ecuación
ab=0
significa que a=0 ó b=0 ó a=b=0
Y luego se demuestra que todos los cuerpos son dominios de integridad.
Supongamos que ab=0 y a, b distintos de 0, entonces existen los inversos de a y b
a^-1·a·b·b^-1 = a^-1·0·b^-1
1·1 = 0
1=0
Absurdo ya que el elemento neutro aditivo y multiplicativo de un cuerpo son distintos, cosa que ahora no estoy del todo seguro, pero al menos en el cuerpo real y el complejo es cierto eso.
Y seguramente sin necesidad de esta parte del álgebra se podrá demostrar que se cumple aplicando las definiciones del cuerpo de los números reales o el de los complejos.
Y al no tener divisores de cero, un producto de dos factores igualado a 0 tiene uno de sus factores o los dos iguales a 0. Y por inducción en un producto finito o incluso numerable de factores tiene que haber algún factor igual a 0.
Y eso es todo.