Ley de los grandes números del teorema del limite central
1.En una institución educativa, un docente que imparte Álgebra Lineal presuntamente ha logrado que sus alumnos obtengan a nivel grupal promedios de 
por varios semestres en forma consecutiva. Por ello, sus compañeros docentes se quejaron de que quizás dicho profesor esté actuando en forma poco ética al estar asignando altas calificaciones a sus alumnos, ya que según ellos, el seguimiento que ha estado llevando el departamento de Control Escolar durante todo ese tiempo, permite establecer que en la institución los alumnos obtienen en dicha materia un puntaje medio de , con desviación de , comportándose dicha variable como una normal con esos parámetros. Si los grupos en dicha escuela están conformados por 36 alumnos, calcule la probabilidad de que un grupo obtenga una calificación grupal de ?. ¿Cree que el valor de esa probabilidad haga permita dar la razón a los docentes quejosos?.
1 respuesta
Mat Cdr!
En el enunciado no han salido los dos datos fundamentales para poder hacer el ejercicio, la media y la desviación, ya que salió esto:
"...Permite establecer que en la institución los alumnos obtienen en dicha materia un puntaje medio de, con desviación de, comportándose dicha variable..."
Escribe esos dos datos que faltan
un puntaje medio
$$\begin{align}&\mu=7.5\end{align}$$Con desviacion
$$\begin{align}&\sigma=0.5\end{align}$$
El teorema del límite central dice que dadas n variables aleatorias igualmente distribuidas e independientes con
$$\begin{align}&media=\mu\\ &varianza = \sigma^2\\ &\\ &\text{entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria}\\ &\\ & \overline X=\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i\\ &\\ &\text{es aproximadamente una } N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)\\ &\\ &\text{Entonces la variable nota media de la clase es una}\\ &\\ &N\left(7.5, \;\frac{0.5}{ \sqrt {36}}\right) = N(7.5,\;0.08333...)\\ &\\ &P(X\ge9.5) = 1-P(X\lt9,5) =\\ &\\ &1-P\left( Z\lt \frac{9.5-7.5}{0.08333...} \right)=\\ &\\ &1 - P(Z\lt 24)=\\ &\\ &\end{align}$$Y esto es una barbaridad, con 6 ya se puede decir esta cubierto el 1 de toda la probabilidad luego con 24 mucho más, y la probabilidad de que la media sea 9,5 será
1-1 = 0
Y eso es todo.
¡Gracias!
¡Ah, por supuesto que da la razón a los docentes quejosos! Los docentes quejosos se habrían conformado (a regañadientes) si la probabilidad de ese promedio de 9.5 hubiera sido cuanto menos de 0.05 pero como ha salido 0 lo que pasa en esa aula es completamente inusual y sospechoso.
