Fórmulas de integración newton cotes

Para f(x)=1

$$\begin{align}&Para \;f(x)=1\\ & \int_{-1}^1dx = x|_{-1}^1= 1-(-1)=2\\ & \text{luego la ecuación } \\ & w_1f(-1)+w_2f(0)+w_3f(1)=\int_{-1}^1dx\\ & \text{se transforma en}\\ & w_1·1+w_2·1+w_3·1=2\\ & \\ &1)\quad w_1+w_2+w_3=2\\ & \\ & \\ &\\ & Para\; f(x)=x\\ & \int_{-1}^1xdx=\left.  \frac{x^2}{2}\right|_{-1}^1=\frac 12-\frac 12  =0\\ & w_1·(-1)+w_2·0+w_3·1=0\\ &\\ & 2)\quad-w_1+w_3=0\\ & \\ & \\ &\\ & Para \;f(x)=x^2\\ & \int_{-1}^{1}x^2dx=\left.  \frac{x^3}{3}\right|_{-1}^1=\frac 13-\left(-\frac 13  \right)=\frac 23\\ & \\ & w_1·(-1)^2 +w_2·0^2+w_3·1^2=\frac 23\\ & \\ & 3)\quad w_1+w_3=\frac 23\end{align}$$

Resolvamos el sistema de ecuaciones.  Sumando segunda y tercera tenemos

2w3= 2/3

w3 = 1/3

Por la segunda o tercera se duduce

w1=1/3

Y por la primera

w2 = 2 -1/3 -1/3 = 4/3

Luego ya tememos los coeficientes

w1=1/3

w2=4/3

w3=1/3

$$\begin{align}&\int_0^1 \frac{2}{\sqrt{5x+4}}dx=\\ & \\ & x^*=2x-1\implies x=\frac{x^*+1}{2}\\ & dx^*=2dx\implies dx=\frac{1}{2}dx^*\\ & x=0\implies x^*=2·0-1=-1\\ & x=1\implies x^*=2·1-1=1\\ & \\ & \int_{-1}^1 \frac{2}{\sqrt{5\left(\frac{x^*+1}{2}\right)+4}}·\frac 12 dx^*=\\ &\\ &\text{aquí simplificaré un poco rápido}\\ & \\ & \sqrt 2 \int_{-1}^{1} \frac{dx^*}{\sqrt{5x^*+13}}\approx\\ & \\ & \sqrt 2\left(\frac 13·\frac{1}{\sqrt{5·(-1)+13}}+\frac 43·\frac{1}{\sqrt{5·0+13}}+\frac 13·\frac{1}{\sqrt{5·1+13}}  \right)=\\ & \\ & \frac{\sqrt 2}{3}\left(\frac 1{\sqrt 8}+\frac 4{\sqrt{13}}+\frac{1}{\sqrt{18}}  \right)=\\ & \\ & \frac{\sqrt 2}{3}\left(\frac {1}{2 \sqrt 2}+ \frac{4}{\sqrt{13}}+\frac{1}{3 \sqrt 2 }\right)=\\ &\\ &\frac 16+\frac{4 \sqrt 2}{3 \sqrt {13}}+\frac 19=\\ &\\ &\frac 16+\frac{4 \sqrt {26}}{39}+\frac 19=\\ &\\ &\frac{15}{54}+ \frac{4 \sqrt {26}}{39}=\\ &\\ &\frac{5}{18}+ \frac{4 \sqrt {26}}{39}\approx 0.8007541381\\ & \end{align}$$

Nunca te quedas del todo a gusto sino compruebas la respuesta con la real

$$\begin{align}&\int_0^1 \frac {2}{\sqrt{5x+4}}dx=\\ &\\ &\int_0^1 2(5x+4)^{-\frac 12}dx=\\ &\\ &2·\frac 1{\frac 12}\frac 15\left[(5x+4)^{\frac 12}\right]_0^1\\ &\\ &\frac 45\left[(5x+4)^{\frac 12}\right]_0^1=\frac 45(3-2)=\frac 45=0.8\end{align}$$

Luego está bastante bien la aproximación, estará bien hecha.

Y eso es todo.