Funciones polinomiales y teorema fundamental del álgebra...

Dado un punto z=a+bi de C+ al aplicarle el cuadrado se transforma en

z^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi

Esa expresión no supone ninguna restricción, la parte real puede ser positiva o negativa y la imaginaria también.

Vamos a demostrar que la transformación es todo C.

Dado un punto cualquiera de C

z = c + di

formamos las ecuaciones

c= a^2 - b^2

d = 2ab

si d distinto de 0 ==> a distinto de 0, sustituimos b en la segunda

b = d/2a

y llevamos ese valor a la primera ecuación

c = a^2 - d^2/(4a^2)

4a^2c = 4a^4 - d^2

4a^4 - 4a^2c - d^2 = 0

$$\begin{align}&a^2=\frac{4c\pm \sqrt{16c^4+16d^2}}{8}\\ &\\ &\text{La que tiene el signo + es no negativa ya que}\\ &\\ &\sqrt{16c^4+16d^2}\ge |4c|\\ &\\ &luego\\ &\\ &a=\sqrt{\frac{4c+ \sqrt{16c^4+16d^2}}{8}}\end{align}$$

Y de ahi salen dos respuestas para a y si calculan las de b=d/2a

Y en el caso d=0 el número es

z=c

y tomamos

a=+-sqrt(c) , b=0     si c es positivo

a=0 , b= +-i·sqrt(c)  si c es negativo.

Luego en resumen, la región transformada es todo C.

Mucho más facil de demostrar es tomando los números complejos en forma polar. Entonces los de C+ son los que tienen ángulo menor o igual a 180º y al elevar a cuadrado se multiplica por dos el ángulo, luego todo ángulo entre 0 y 360º se podrá expresar como en doble de uno entre 0º y 180º. Aparte todo módulo podra expresarse como el cuadrado de otro módulo. Con lo cual todo elemento de C se podrá expresar como el cuadrado de un elemento de C+.

Y eso es todo.