Ejercicio de matrices
Me llamo Walter y quisiera que por favor me ayudes con el siguiente problema de matrices:
Hallar TODAS las matrices A que pertenecen a R (de 2x2) tales que:
B.A = A.B
la matriz B se compone de la siguiente manera:
b11= -2
b12= 1
b21 = 2
b22 = -1
Y la matriz A, no especifican nada.
Yo se que en gral. La multiplicación de matrices no es conmutativa por eso no entiendo bien que tengo que hacer en este ejercicio, sé que si A fuera la matriz nula o la identidad este ejercicio se verficaría pero ¿cómo sé que son los únicos resultados?, si me das una mano te lo agradeceré.
Hallar TODAS las matrices A que pertenecen a R (de 2x2) tales que:
B.A = A.B
la matriz B se compone de la siguiente manera:
b11= -2
b12= 1
b21 = 2
b22 = -1
Y la matriz A, no especifican nada.
Yo se que en gral. La multiplicación de matrices no es conmutativa por eso no entiendo bien que tengo que hacer en este ejercicio, sé que si A fuera la matriz nula o la identidad este ejercicio se verficaría pero ¿cómo sé que son los únicos resultados?, si me das una mano te lo agradeceré.
1 Respuesta
Respuesta
1
Multiplicas, en general:
BxA
=
[-2 1]
[2 -1]
Por (por)
[a b]
[c d]
= (igual)
[(c-2a) (d-2b)]
[(2a-c) (2b-d)]
Y multiplicas:
AxB
=
[a b]
[c d]
x
[-2 1]
[2 -1]
=
[(2b-2a) (a-b)]
[(2d-2c) (c-d)]
Como BxA=AxB, salen las siguientes ecuaciones:
c-2a = 2b-2a
d-2b = a-b
2a-c = 2d-2c
2b-d = c-d
De la primera, o la última obtenemos que c = 2b
Añadamos un parámetro u de forma que: c=4u y b=2u
Entonces:
d-4u = a-2u ==> d=a+2u
2a-4u = 2d-8u ==>
2a-4u=2a+4u-8u ==> 0=0
Esto significa que necesitamos un segundo parámetro v, y haciendo a=v, las ecuaciones paramétricas finales del subespacio solución son:
a=v
b=2u
c=4u
d=v+2u
Dando valores reales arbitrarios a u y v se obtienen todas las matrices A que conmutan con la B dada.
0 conmuta para u=0 y v=0. La identidad también para u=0, v=1. Pero por ejemplo, para u=1, v=1:
AxB=
[1 2]
[4 3]
x
[-2 1]
[2 -1]
=
[2 -1]
[-2 1]
y
BxA=
[-2 1]
[2 -1]
x
[1 2]
[4 3]
=
[2 -1]
[-2 1]
Luego esta matriz también conmuta con B.
BxA
=
[-2 1]
[2 -1]
Por (por)
[a b]
[c d]
= (igual)
[(c-2a) (d-2b)]
[(2a-c) (2b-d)]
Y multiplicas:
AxB
=
[a b]
[c d]
x
[-2 1]
[2 -1]
=
[(2b-2a) (a-b)]
[(2d-2c) (c-d)]
Como BxA=AxB, salen las siguientes ecuaciones:
c-2a = 2b-2a
d-2b = a-b
2a-c = 2d-2c
2b-d = c-d
De la primera, o la última obtenemos que c = 2b
Añadamos un parámetro u de forma que: c=4u y b=2u
Entonces:
d-4u = a-2u ==> d=a+2u
2a-4u = 2d-8u ==>
2a-4u=2a+4u-8u ==> 0=0
Esto significa que necesitamos un segundo parámetro v, y haciendo a=v, las ecuaciones paramétricas finales del subespacio solución son:
a=v
b=2u
c=4u
d=v+2u
Dando valores reales arbitrarios a u y v se obtienen todas las matrices A que conmutan con la B dada.
0 conmuta para u=0 y v=0. La identidad también para u=0, v=1. Pero por ejemplo, para u=1, v=1:
AxB=
[1 2]
[4 3]
x
[-2 1]
[2 -1]
=
[2 -1]
[-2 1]
y
BxA=
[-2 1]
[2 -1]
x
[1 2]
[4 3]
=
[2 -1]
[-2 1]
Luego esta matriz también conmuta con B.
Hola otra vez
Gracias por tu aclaración.
Yo había llegado hasta:
c-2a = 2b-2a
d-2b = a-b
2a-c = 2d-2c
2b-d = c-d
Y que c=2b pero ahí me quedé y pensé que estaba fallando en algo y era que no se me había ocurrido lo de agregar los parámetros.
Muchas gracias nuevamente, tu explicación me fue muy útil.
Saludos.
Walter
Gracias por tu aclaración.
Yo había llegado hasta:
c-2a = 2b-2a
d-2b = a-b
2a-c = 2d-2c
2b-d = c-d
Y que c=2b pero ahí me quedé y pensé que estaba fallando en algo y era que no se me había ocurrido lo de agregar los parámetros.
Muchas gracias nuevamente, tu explicación me fue muy útil.
Saludos.
Walter