Ayuda con limite con raices en el numerador y denominador

Lucho 96!

Si evaluamos la función en 1 tendremos la indeterminación 0/0.

En estos casos uno piensa siempre en multiplicar y dividir por el denominador con el signo del medio cambiado, pero no funciona, seguiremos teniendo un 0/0 y no habrá humana de simplificar nada. Te lo digo porque he intentado hacer algo y era imposible.
Luego hay que usar algo más fuerte como la regla de l'Hôpital, según la cual el límite es el mismo que si cambiamos el numerador por su derivada y el denominador por la suya.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 1}   \frac{\sqrt{x+8}-\sqrt{8x+1}}{\sqrt{5-x}-\sqrt{7x-3}}=\\ &\\ &\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x+8}}-\frac{8}{2 \sqrt{8x-1}}}{\frac{-1}{2 \sqrt{5-x}}-\frac{7}{2 \sqrt{7x-3}}}=\\ &\\ &\frac{\frac{1}{2 \sqrt{1+8}}-\frac{8}{2 \sqrt{8+1}}}{\frac{-1}{2 \sqrt{5-1}}-\frac{7}{2 \sqrt{7-3}}}=\frac{\frac{1}{6}-\frac{8}{6}}{\frac{-1}{4}-\frac{7}{4}}=\\ &\\ &\frac{-\frac{7}{6}}{-\frac 84}=\frac{\frac 76}{2}= \frac 7{12}\end{align}$$

Y eso es todo.

Me queda una duda en el tercer paso, cuando operas dentro de las raices; por ejemplo en la raíz de 8x-1,¿por qué queda luego la raíz de 8+1? Es esa duda nomas