Demostración sobre el teorema de bolzano

El teorema de bolzano dice Toda sucesión monótona y acotada converge y

i) Si es monóntona no decreciente, converge a su supremo

ii) Si es monótona no creciente converge a su ínfimo

Entonces debo hacer la demostración del inciso (i) que implica que toda sucesión monótona no decreciente y acotada, converge a su supremo.

Yo puse lo siguiente, me puede decir por favor si es correcto:

Sea {an} cualquier sucesión de números reales, monótona y acotada. Supongamos que es monótona no decreciente. Como la sucesión es acotada, por el       principio del supremo, existe α ∈ ℝ tal que α = sup{an}. -la n es subíndice-

Por el teorema 2, para todo   ε  > 0, existe N en ℕ y su correspondiente aN tal que: aN < α + ε

Como la sucesión es no decreciente:  aN ≤ an  Para toda n > N.  -la n es subíndice-

Y como α es cota superior de la sucesión:

α < α + ε  (porque ε > 0).

Por lo tanto tenemos:

α – ε ≤ an ≤  α + ε

lo que implica:

–ε  ≤ an –  α   ≤  ε

 y se sigue que:

|an –  α  | <   ε

Así, tenemos que para todo  ε  > 0, existe N en ℕ tal, que para todo n > N, |an – α | < ε .

Pero ésta es la definición de   límite de una sucesión, por lo tanto: lim n tiende a infinito de an =α

Y podemos concluir que {an} converge a  α. Lo que queríamos demostrar.

Si suponemos que la sucesión es monótona no creciente, la demostración es análoga.