Ayuda con la siguiente función implícita

Al derivar implícitamente se han de tener en cuenta las reglas de derivación donde y=f(x).

En el primer término tendremos en cuenta la regla del producto, y en el segundo la del cociente.

La derivada del primer miembro habrá de ser igual a la derivada del segundo miembro:

Posteriormente se ha de operar y despejar y', sacando factor común a y' previamente:

$$\begin{align}&xy+arctg \frac{x}{y}=6\\ &\\ &Derivando \ ambos \ miembros:\\ &\\ &1·y+x·y'+\frac{1}{1+ \left( \frac{x}{y}  \right)^2}·\frac{1·y-x·y'}{y^2}=0\\ &\\ &\\ &y+xy'+\frac{y^2}{x^2+y^2}·\frac{y-x·y'}{y^2}=0\\ &\\ &y+xy'+\frac{y-xy'}{x^2+y^2}=0     \\\ &sacando \ denominadores\\ &\\ &(y+xy')(x^2+y^2)+y-xy'=0\\ &\\ &yx^2+y^3+x^3y'+xy^2y'+y-xy'=0\\ &\\ &Factor \ común \ y':\\ &\\ &y'(x^3-x+xy^2)=-yx^2-y^3-y\\ &\\ &y'=\frac{-y(x^2+y^2+1)}{x(x^2+y^2-1)}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

·

Hay dos notaciones para la derivada de y respecto de x

y'

dy/dx

Voy a usar la primera que es mejor para escritura en en una sola línea en especial y también aunque se pueda escribir de forma natural.

Se usan las normas de derivación normales para las funciones de x que haya y las de y, solo que cuando se deriva una función de "y" se multiplica después por y'.

Lo primero es un producto de las funciones identidad de x y "y", derivada d ela primera por segunda sin derivar mas primera sin derivar por derivada de la segunda

(xy)' = 1·y + x·1·y' = y + xy'

el segundo término es

$$\begin{align}&\left(arctg \frac xy\right)'=\frac{\left(\frac xy  \right)'}{1+\frac{x^2}{y^2}}=\\ &\\ &\frac{\frac{1·y-x·1·y'}{y^2}}{\frac{y^2+x^2}{y^2}}=\frac{y-xy'}{y^2+x^2}\end{align}$$

Y en el lado derecho la derivada de 6 es 0

Luego la derivación implícita queda en

$$\begin{align}&y+xy'+\frac{y-xy'}{y^2+x^2}=0\\ &\\ &\text {y ahora hay que despejar }y'\\ &\\ &\frac{(y+xy')(y^2+x^2)+y-xy'}{y^2+x^2}=0\\ &\\ &(y+xy')(y^2+x^2)+y-xy'=0\\ &\\ &y(y^2+x^2)+x(y^2+x^2)y' - xy' = -y\\ &\\ &\left(x(y^2+x^2)-x\right)y'=-y-y(y^2+x^2)\\ &\\ &y'=-\frac{y(y^2+x^2+1)}{x(y^2+x^2-1)}\\ &\\ &\text{o si lo prefieres}\\ &\\ &y'=-\frac{y^3+x^2y+y}{x^3+xy^2-x}\end{align}$$

Y eso es todo.