Ecuaciones diferenciales exactas
¿Cómo saber si son exactas al derivar y como se resuelven? Ayudenme aunque sea a derivarlas para saber si son exactas.
¿La primera no es exacta pero como se deriva?
1---(yln -e^-xy)dx=(1/y+xln y)dy
2---(y^3- y^2senx -x)dx + (3xy^2 + 2ycosx)dy=0
3---(1 + lnx + y/x)dx = (1- lnx)dy
4-----(1 -2x^2 -2y)dy = (4x^3+4xy)
5----(1/1+y^2 + cosx -2xy)dy= y(y+senx)dx donde y(0)=1
1 Respuesta
La literatura clásica sobre las ecuaciones diferenciales exactas (o diferenciales totales que se llaman también) dice que dada una ecuación diferencial de esta forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
es exacta si y solo si
&M/&y = &N/&x
Donde he usado & como símbolo de la derivada parcial
1) Debes escribir mejor la ecuación, si quieres decir
y·ln[-e^(-xy)] no tiene sentido, no hay logaritmos de números negativos
Y en la parte derecha supongo que x·lny no es denominador, pero por si acaso me lo confirmas
2)
&M/&y = 3y^2 - 2y·senx
&N/&x = 3y^2 - 2y senx
es diferencial exacta
3)
&M/&y = 1/x
recordar que N debería estar en el miembro izquierdo donde sería
N = lnx - 1
&N/&x = 1/x
es una diferencial exacta
4) En este se te olvido poner el dx pero se supone que esta en la derecha. Lo pasaremos todo a la derecha y tendremos
M = (4x^3+4xy)
N = - (1 -2x^2 -2y)
&M/&y = 4x
&N/&x = 4x
luego es una diferencial exacta
5) Lo pasaremos todo a la derecha y será
M = y(y+senx)
No está clara la expresioón de N pero la supondré así
N = -(1/(1+y^2) + cosx -2xy) = -1/(1+y^2) - cosx + 2xy
&M/&y = y+senx + y = senx+ 2y
&N/&x = senx +2y
Luego es una diferencial exacta.
Y eso es todo salvo que me mandes corregido el enunciado del primero, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.
