Reclamar herencia para pagar tasas

Quería saber si las tasas de una vivienda, se pagan desde el fallecimiento del dueño o desde la firma de reparto y aceptación del testamento.

El tema es porque mi primo falleció y me dejó un piso en herencia.

El no tenia cónyuge ni hijos, solo hermanos y una sobrina que creo que no esta de acuerdo y es la que esta moviendo los papeles, según me dicen.

Tengo copia del testamento, pero no se que pasos seguir en caso de que impugne (creo se dice así) el testamento, para evitar los recargos en caso de que tuviera que pagarlos yo.

¿Puedo reclamar mi parte del testamento o debo denunciar?