Problemas de relación de modelos de Beltraimi.- Klein con el modelo de Poincaré

Considera la esfera E de radio igual a 1 con centro en el punto (0,0,1).

a) Dado cualquier punto (x, y, 0) con:

$$\begin{align}&x^2+y^2≤1\end{align}$$

hallar la intersección  Q(x,y) entre el hemisferio de la esfera E y la recta ortogonal al plano xy que pasa por el punto (x,y,0).

b) Hallar la ecuación paramétrica de la recta:

$$\begin{align}&l_(x,y) \end{align}$$

que pasa por los puntos (0,0,2) y el punto Q(x,y).

c) Hallar la intersección F(x,y) de la recta:

$$\begin{align}&l_(x,y) \end{align}$$

con el plano xy.

d) Definase:

$$\begin{align}&φ(x,y,0)=F(x,y)\end{align}$$

y sea C el círculo en el plano xy cuya ecuación es:

$$\begin{align}&x^2+y^2=1\end{align}$$

Demostrar que la imagen de C bajo la función:

$$\begin{align}&φ\end{align}$$

es el círculo D en el plano xy con centro en el orígen. Cual es su radio?

e) Demuestra que:

$$\begin{align}&φ\end{align}$$

transforma un radio en el círculo C en un radio en el circulo D.

f) Demuestra que 

$$\begin{align}&φ\end{align}$$

transforma una cuerda en el circulo C en una linea  de Poincaré en el circulo D.