Determinar un subespacio donde S pertenece a R^5?
Como se haría este ejercició:
F = {(x,y,z,t,w) pertenece a R^5 | x-y+z=0 , t-w=0}
Determinar un subespacio de S que pertenezca a R^5 donde F+S = R^5 y F intersección S = ((1,1,0,0,0),(0,1,1,0,0))
Manel López!
Formemos una base para F. Ya que nos dan dos elementos que deben ser de F los tomaremos como los dos primeros de la base
BF={(1,1,0,0,0), (0,1,1,0,0), ...}
Y ahora con intuición vemos que (0,0,0,1,1) pertenece a F y es linealmente independiente con los dos anteriores, luego es el elemento que nos falta de la base de F. Sabemos que F es de dimensión 3 porque se forma con dos condiciones independientes entre sí sobre un espacio de dimensión 5.
Lo que nos queda por hacer es encontrar otros dos vectores independientes hasta formar una base de R5 y la base de S será esos dos vectores y los dos que nos dan.
Tenemos
(1,0,0,0,0)
Que no es de F porque no cumple la condición primera.
Y finalmente uno cualquiera que no cumpla la condición t-w=0, por ejemplo
(0,0,0,0,1)
·
Resumiendo, la base de S es
BS ={(1,1,0,0,0), (0,1,1,0,0), (1,0,0,0,0), (0,0,0,0,1)}
Y el subespacio S es el generado por esa base.
En este caso es fácil hallar la condición que lo define, es simplemente:
S={(x,y,z,t,w) € R5 | t=0}
