Problema con series divergentes...Analisis Matematico!

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Multiplicamos y dividimos por lo mismo con signo + en medio

$$\begin{align}&\lim_{n\to \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)=\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}= \frac{1}{\infty}=0\\&\\&\end{align}$$

Y el otro es casi inmediato

$$\begin{align}&\lim_{n \to \infty}log\left(1-\frac 1n  \right)=\\&\\&log\left(\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac 1n\right)  \right)=\\&\\&log(1-0)=log \,1 = 0\end{align}$$

Y la sumas sumas explícitas son

$$\begin{align}&S_n= \sqrt 2-\sqrt 1+\sqrt 3-\sqrt 2+\sqrt 4 -\sqrt 3+···+\sqrt {n+1}-\sqrt n=\\&\\&-\sqrt 1+ \sqrt{n+1}\\&\\&\lim_{n\to\infty}(-1 + \sqrt{n+1})=\infty\\&\\&\\&\\&t_n=log(1-1)+log\left(1-\frac 12\right)+···+log\left(1-\frac 1n \right)=\\&\\&log\left(0·\frac 12·\frac 23·\frac{n-1}{n} \right)\end{align}$$

Con el 0 inicial esta claro que es logaritmo de 0 que es -infinito.  Pero aun en el caso de que empezaramos la suma por el segundo término.

$$\begin{align}&log\left(\frac 12·\frac 23·\frac{n-1}{n} \right) = log \left( \frac 1n\right)\\&\\&\lim_{n\to \infty} log \left( \frac 1n\right)=\\&\\&log\left(\lim_{n\to \infty} \left( \frac 1n\right)\right)=\\&\\&log\;0 = -\infty\end{align}$$

En el enunciado se equivocaron, el limite de tn es -infinito.

Y eso es todo.