Problema de reordenaciones en analisis matematico...

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Una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente, es decir que la serie con los valores absolutos de todos los términos es divergente.

Separemos la serie a_n en dos series, una con los términos positivos b_n y otra con los negativos c_n.

Si las dos fueran convergentes lo sería la serie de los valores absolutos, lo cual no sucede, luego al menos una es diuvergente.

Pero si una fuera convergente y otra divergente la serie a_n sería divergente, lo cual no sucede.

Luego las dos series b_n y c_n deben ser divergentes, lo cual significa qyue en cualquiera de las dos a partir de cualquier término m podemos obtener una suma de términos tan grande como queramos.

Entonces vamos a hacer lo siguiente, tomaremos una cantidad constante K>0 lo mismo da que sea pequeña o grande.

Tomamos el primer término c_1 y luego tomaremos tantos términos sean necesarios {b1, b2, b3, ... bn} de tal forma que

(suma de b1 a bn)> |c1|+k

Puede ser que simplemente sea necesario un término de bn, pero si hacen falta más se toman todos quie que haga falta.

La serie que formamos será

b1,b2,...bn, c1

Volvemos a hacerlo, ahora tomamos c2 y los necesarios {b(n+1), b(n+2), ...,b(n+m)} para que

(suma de b(n+1) a b(n+m)) > |c2|+k

la serie queda

b1,b2,...bn, c1, b(n+1), b(n+2), ..., b(n+m), c2

Y esto lo hacemos infinitas veces, en cada una de ellas la suma es mayor que k con lo cual la suma de infinitas veces la constante k es infinito y la serie obtenida es divergente tendiendo a +infinito

Para la que tiende a -infinito se hace al revés se toman uno a uno los elementos de bn y por cada uno de ellos se toman los suficientes elementos de cn de forma que

|(suma de c1 a cn)| > b1 + k

Y actuando de esta forma tendremos que la suma sera menor que -k y haciendo infinitas veces la suma tgenderá a -infinito.

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Y eso es todo, esepwro que te sirva y lo hayas entendido.