Problema de series convergentes...analisis matematico!

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Es que esto no sé si se resolverá mediante algún teorema que hayáis dado en el curso.

Sabemos que si una serie converge entonces el término general de la sucesión tiende a 0.

Pero el término general de la sucesión n·a_n en el infinito será un infinito multiplicado por un 0 y eso es una indeterminación.

Supongamos que

lim(n→∞)⁡ n·a_n=k>0

existirá un m a partir del cual todos los términos de n·a_n serán mayores que k/2

n·a_n >  k/2 = c

puesto de otra forma

a_n / (1/n) > c

lim(n→∞) [a_n / (1/n)] > c > 0

Entoces usamos el criterio de comparación del cociente de dos series positivas a_n y b_n

Este criterio dice

Sea L = lim(n→∞) (a_n / b_n)

1) Si L=0 y la serie ∑b_n converge entonces ∑a_n converge

2) Si L=+∞ u la serie ∑b_n diverge entonces ∑a_n diverge

3) Si 0<L<+∞ entonces las series ∑a_n y ∑b_n comparten la misma condición, ambas covergen o ambas divergen

En este caso b_n = 1/n

Y sobre esa serie sabemos que es divergente, es algo que por fuerza te han tenido que enseñar.

Entonces, el limite sabemos que es positivo ya que era mayor que cierto c

Si el límite es infinito aplicando el criterio 2) tendremos que ∑a_n diverge. Eso es absurdo ya que nos dicen que converge

Y si el límite es finito por el criterio 3) también tendremos que ∑a_n diverge, absurdo de nuevo.

Luego la hipótesis de que

lim(n→∞)⁡ n·a_n=k>0

es falsa y debe cumplirse

lim(n→∞)⁡ n·a_n=0

Ya que ese límite no puede ser negativo, la serie es producto de dos factores positivos.

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Y eso es todo.