¿Cuál es la diferencia entre la república y la democracia?

No se trata de expresiones antagónicas sino de cosas distintas.

1.- La República es una forma de gobierno. Estaríamos hablando del modo de organizar la jefatura del Estado. Normalmente se contrapone a la monarquia. En la primera se trataría de un cargo político y elegible y en la segunda se trataría de un cargo hereditario. No es mejor una u otra, son diferentes. En ambos casos hay distintos modos de organización. Las repúblicas suelen ser presidencialistas o parlamentarias. En las primeras es el pueblo quien elige al presidente o jefe del estado y en las segundas es el parlamento quien lo elige. En unas y en otras los poderes del presidente son distintos. Ejemplos de las primeras las tenemos en los EE. UU o en algunas repúblicas de Sudamérica y de las segundas las encontramos en Europa en países como Alemania o Italia.

El caso de Francia es un poco particular porque se trata de una República presidencialista respecto al sistema de elección del presidente pero, formalmente, se trata de una República parlamentaria puesto que el Gobierno necesita de la confianza del Parlamento.

2.- La Democracia se trata de un modo de elección de los gobernantes de un determinado Estado. Tenemos dos modos de ejercicio democrático: directo o por representación.

El ejercicio democrático directo es un modo de gobierno en el que las decisiones a tomar por el gobierno se someten a consulta al sujeto que ejerce democráticamente la soberanía, el pueblo. Ejemplo de este modo lo encontramos en la Confederación Helvética (Suiza).

El ejercicio democrático por representación es un modo de gobierno en el que lo que elige el sujeto soberano son los representantes. Serán éstos quienes, en ejercicio de la representación que ostentan, tomarán las decisiones de gobierno en los parlamentos. Ejemplos de ello son miles, empezando por España.

Para poder ahondar mas en los conceptos y en su significado se puede empezar por la lectura de autores clásicos como Platón o Aristóteles, siguiendo por Niestzsche o Hobbes, para terminar con cualquier Tratado o estudio sobre derecho constitucional de los que se estudian en las Universidades.

No somos expertos en esta cuestión, y seguro que alguien te puede ayudar de forma más académica. Pero en nuestra opinión:

Una república puede no ser una democracia. Es decir, habitualmente se distingue entre república y monarquía (puede haber alguna más), que no es más que la determinación del Jefe del Estado por elección o por herencia.

La democracia es una fórmula de elección, mediante el voto de los ciudadanos (normalmente). España es un democracia pero es un Reino, no una república.

Aunque como todo en la vida, hay veces que no deja de ser un simple nombre... pues hay repúblicas que se heredan o al menos no se elige al presidente de esa república por un método democrático entre todos los ciudadanos. En algunos países, el partido único elije a su presidente de la república "popular".

República se refiere a un sistema de gobierno donde no existe un rey (res publica: cosa publica).

Democracia en un sistema de gobierno en el que el poder emana del pueblo (demos: pueblo, cratos: poder).

Son dimensiones diferentes de la organización política de un pueblo o estado, y son conceptos combinables, por ejemplo Francia en una república democrática( no hay rey y el pueblo elige a sus dirigentes), España es una monarquía democrática( hay rey y el pueblo elige a sus dirigentes), para el caso contrario, está el ejemplo de la Antigua Roma, en el que en situaciones de excepcionalidad se nombraba un dictador para que dirigiese la República, con lo que tenían, temporalmente, una república no democrática.

FE DE ERRATA:

Donde pone "democracia constitucional", debería decir "monarquía constitucional". Perdón.

Considero la primera respuesta como una de las mas acertadas, pero quiero aclarar algo muy importante: no podemos confundir Democracia con Gobiernos representativos, puesto que los lideres mundiales, por muchos años han buscado mantener esta confusión, pero hay que aclarar que la mayoría de las supuestas democracias existentes en el mundo son nada mas y nada menos que "Gobiernos Representativos" donde el pueblo tristemente pone la confianza en supuestos lideres preparados para gobernar (donde el verdaderamente preparado no es realmente tomado en cuenta, sino el mas carismático y de mayores recursos para competir). La Democracia como tal se basa en la desconfianza en los representantes (todo lo contrario a los gobiernos representativos o mal llamada democracia representativa o simplemente democracia) pues estos, antes de aprobar alguna ley (incluso las que tienen que ver con sus salarios) deben consultarle al pueblo la aprobación de la misma, es decir sus responsabilidades como representantes eran grandes, pero el peso de las decisiones realmente era del pueblo e incluso, en la verdadera democracia, el pueblo puede sugerir la creación de nuevas leyes y los representantes tienen el deber de cumplir la creación de las mismas. A demás los representantes de un gobierno democrático (como el de la antigua Grecia) debían cumplir cabal y responsablemente sus funciones o eran duramente castigados (incluso hasta con penas de muerte) algo muy lógico ya que la irresponsabilidad y falta de cumplimiento en sus funciones, repercutía directamente en el bienestar del pueblo. Cosa muy diferente sucede en los gobiernos representativos donde los supuestos representantes de un pueblo no cumplen lo que prometieron sin obtener sanción alguna, ni en los peores actos de corrupción. Sino pregúntenle a cualquier político envuelto en actos de corrupción de cualquier índole, pero muy evidentes a la vista de todo un pueblo y siguen haciendo vida política en sus naciones y robando el dinero de quienes los escogieron para ser representados. Para aclarar algo muy importante, en una verdadera democracia el beneficio es para el pueblo que desconfía en sus representantes (y debe hacerlo), en cambio en los gobiernos Representativos el beneficios es para los representantes escogidos por un pueblo que ciegamente confió en ellos.