Resolución de Ejercicio de triángulo rectángulo
Hallar la longitud del cateto menor, siendo la hipotenusa 10 metros y el área 24 m2.
2 respuestas
Violeta Zaracho!
Llamaremos x, y a los catetos.
Hay dos incógnitas, plantearemos dos ecuaciones:
una a partir del área=b·h/2
otra con el teorema de Pitágoras::
$$\begin{align}&10^2=x^2+y^2\\&24=\frac{x·y}{2}\\&\\&100=x^2+y^2\\&48=xy\\&\\&y=\frac{48}{x}\\&x^2+(\frac{48}{x})^2=100\\&x^2+\frac{2304}{x^2}=100\\&Sacando \ denominadores\\&x^4+2304=100x^2\\&x^4-100x^2+2304=0\\&Ecuación \ Bicuadrada\\&Cambio \ de \ variable:x^2=z\\&z^2-100z+2304=0\\&\\&z=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\\&\\&\frac{100 \pm \sqrt{100^2-4·2304}}{2}=\\&\\&\frac{100\pm \sqrt{784}}{2}=\frac{100\pm 28}{2}=\\&\\&z_1=64\Rightarrow x_1=8 \Rightarrow y_1=6\\&\\&z_2=36 \Rightarrow x_2=6 \Rightarrow y_2=8\\&\\&\\&\end{align}$$Luego el cateto menor mide 6 m
Esta te falta votar, y más cuando has tenido dos contestaciones.
Es lo único que se pide en este chat.
Y no sea rácana votando.
·
Sean x, y la longitud de los catetos
Los catetos de un triángulo rectángulo forman 90º, poniendo uno como base el otro es la altura, luego se cumple:
A = x·y / 2 = 24
1) xy=48
Y por otro lado se cumple el teorema de Pitagoras
x^2 + y^2 = 10^2
2) x^2 + y^2 = 100
sustituimos x en la ecuación 1)
x = 48/y
y lo llevamos a la segunda
(48/y)^2 + y^2 = 100
48^2 / y^2 + y^2 = 100
multiplicando todo por y^2
2304 + y^4 = 100y^2
y^4 - 100y^2 + 2304 = 0
Es una ecuación bicuadrada, lo primero que se calcula es y^2
$$\begin{align}&y^2=\frac{100\pm \sqrt{10000-4·2304}}{2}=\\&\\&\frac{100\pm \sqrt{784}}{2}=\frac{100\pm 28}{2}= 64\; y\; 36\\&\\&\text{Y calculamos y sacando la raíz cuadrada }\\&\\&y_1=\pm \sqrt{64}=\pm8\\&y_2=\pm \sqrt{36}=\pm6\end{align}$$Las respuestas negativas no tienen sentido ya que y es una longitud positiva.
Si tomamos y=8 tendremos x=48/8=6
y si tomamos y=6 tendremos x=48/6=8
Luego en cualquiera de los casos la pareja de catetos mide o bien 6 y 8, o bien 8 y 6 que es lo mismo. Y el cateto menor mide 6m