Demostrar por medio de la definicion que (3x-5)=1 cuando lim tiende a 2

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Debe haber un ejercicio en cada pregunta, más si son como estos teóricos y con cierta dificultad sobre todo de escritura si se hacen en Latex.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 2}(3x-5)=1\\&\\&|3x-5-1|=|3x-6|=3|x-2|\\&\\&Dado\; \epsilon\gt 0\;tomaremos\;\delta=\frac{\epsilon}{3}\\&\\&\text {entonces si}\\&\\&|x-2|\lt \delta=\frac{\epsilon}{3} \;tendremos\\&\\&|f(x)-L|=|3x-5-1|=\\&\\&|3x-6|=3|x-2|<3·\frac{\epsilon}{3}=\epsilon\\&\\&\text{resumiendo}\\&\\&|f(x)-L| \lt\epsilon\end{align}$$

Luego L=1 es el límite de f(x)=3x-5 cuando x tiende a 2

Bueno haré también el 6, pero los demás los mandas cada uno en una pregunta

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty \iff\\&\forall\, K\gt 0\quad \exists L>0 \quad /\;\forall x \in Dom (f),\;x\gt L\to f(x)\lt -K\end{align}$$

Que leído sería:

Limite de f(x) cuando x tiende a infinito es menos infinito si y solo si, para todo K mayor que cero existe un L mayor que 0 tal que si un punto x pertenece al dominio de f y es mayor que L entonces secumple f(x) menor que -K

Puede definirse también diciendo que K es menor que 0 y que se cumple menor que K

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty \iff\\&\forall\, K\lt 0\quad \exists L>0 \quad /\;\forall x \in Dom (f),\;x\gt L\to f(x)\lt K\end{align}$$

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Y la otra definición es:

$$\begin{align}&\lim_{x\to-\infty}f(x)=L \iff\\&\forall \epsilon\gt 0\quad \exists K\gt 0 \;/x \in Dom(f),\;x\lt-K\to|f(x)-L|\lt\epsilon\\&\\&\text{o esto otro}\\&\\&\lim_{x\to-\infty}f(x)=L \iff\\&\forall \epsilon\gt 0\quad \exists K\lt 0 \;/x \in Dom(f),\;x\lt K\to|f(x)-L|\lt\epsilon\end{align}$$