6. Consideremos las compañías de procesamiento de datos especializadas que tiene dificultades para tener utilidades en su 1er añ

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No nos dan la constante k, luego tendremos que calcularla sabiendo que la suma de probabilidades de y es 1. Es una integral entre los valores de y cuya probabilidad no sea nula

$$\begin{align}&1=\int_0^1ky^4(1-y)^3dy=\\&\\&k\int_0^1(y^4-3y^5+3y^6-y^7)dy=\\&\\&k\left[\frac {y^5}{5}-\frac{y^6}{2}+\frac{3y^7}{7}-\frac{y^8}{8}  \right]_0^1=\\&\\&k\left(\frac 15-\frac 12+\frac 37-\frac 18   \right)=\\&\\&k·\frac{56-140+120-35}{280}= \frac {k}{280}\\&\\&1=\frac{k}{280}\\&\\&k=280\\&\\&\text{Luego la función de densidad es}\\&\\&f(y)=280y^4(1-y)^3\end{align}$$

Ah, las preguntas estaban puestas al reves.  Pues la pregunta del valor de la k ya está constestada.

2.b)

Debemos calcular la probabilidad de que Y tome valores entre 0 y 1/2

Como ya hemos calculado la integral podemos usar la función de distribución asociada.

P(Y<=1/2) = F(1/2) =

$$\begin{align}&=280\left[\frac {\left(\frac 12\right)^5}{5}-\frac{\left(\frac 12\right)^6}{2}+\frac{3 \left(\frac 12\right)^7}{7}-\frac{\left(\frac 12\right)^8}{8}  \right]=\\&\\&\frac{280}{32}\left(\frac 15 -\frac 14+\frac 3{28}-\frac 1{64} \right)=\\&\\&\frac{280}{32}\left(\frac{448-560+240-35}{2240}  \right)=\\&\\&\frac{35}{4}·\frac{93}{2240}= \frac{3255}{8960}=\frac{93}{256}\approx 0.36328125\end{align}$$

1.c)

Seria P(>=80%) = 1 - P(<=80%) = 1 - F(0.8) =

Lo haré mezcla de operaciones decimales con racionales y dará una respuesta exacta, tu si quieres puedes hacerlo más rápidamente tomando la calculadora en la segunda línea.

$$\begin{align}&=1-280\left(\frac {0.8^5}{5}-\frac{0.8^6}{2}+\frac{3·0.8^7}{7}-\frac{0.8^8}{8}  \right)=\\&\\&1-280·0.8^5\left(\frac 15-\frac{0.8}{2} +\frac{1.92}{7} -\frac{0.512}{8}\right)=\\&\\&1-91.7504\left(0.2-0.4+\frac{1.92}{7}-0.064  \right)=\\&\\&1-91.7504\left( \frac{1.92}{7}-0.264 \right)=\\&\\&1-91.7504·\frac{1.92-1.848}{7}=\\&\\&1-91.7504·\frac{0.072}{7} =\\&\\&\frac{7-6.6060288}{7}= \frac{0.3939712}{7}=0.0562816\end{align}$$