Estadística:Resolución de problemas en base a las formas de estacionariedad

Considerando el proceso:

X_t=β_1+β_2 t+Y_t

donde β_1 y β_2 son constantes conocidas y {Y_t }_t es una sucesión de variables aleatorias no correlacionadas tales que E(Y_t )=0 y VAR(Y_t )=σ^2.

Establecer si {X_t} es estacionario de segundo orden

Eso ya lo demostré y quedó bien, de hecho no es estacionario de segundo orden

Ahora dado que {X_t}  no es estacionario de segundo orden debo exhibir una transformación de {x_t} que produzcan un proceso estacionario

Yo hice lo siguiente:

sea τ>0 | (t+τ),t∈T , n∈N y r_i∈{0,1,2} y ∑_(i=1)^n  r_i ≤2

Para el proceso

X_t=β_1+β_2 t+Y_t
trasformado a
X_t=β_1+β_2+Y_t
β_1 y β_2 son constantes conocidas
{Y_t }_t es una sucesión de variables aleatorias no correlacionadas
E(Y_t )=0
VAR(Y_t )=σ^2.

Donde se sigue que:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(kX)=kE(x)∀k∈R
E(aX+b)=aE(x)+b ∀ a y b∈R
E(X∙Y)=E(X)∙E(Y) | X e Y son variables independientes

Sea el intervalo t

E(X_0 X_1 X_2 )=E[(β_1+β_2+Y_0 )(β_1+β_2+Y_1 )( β_1+β_2+Y_2 ) ]

| E(Y_t )=0

∴
E(X_0 X_1 X_2 )=3(β_1+β_2 )

Sea el intervalo t+τ

E(X_τ X_(1+τ) X_(2+τ) )=E[(β_1+β_2+Y_τ )(β_1+β_2+Y_(1+τ) )(β_1+β_2+Y_(2+τ) ) ]

| E(Y_t )=0
incrementando un intervalo se obtiene el mismo valor
E(Y_(t+τ) )=0

E(X_τ X_(1+τ) X_(2+τ) )=3(β_1+β_2 )

Sea τ>0
∴

E(X_0 X_1 X_2 )=E(X_τ X_(1+τ) X_(2+τ) )

Se cumple la primera parte de la definición de estacionario de segundo orden
∎

Nota: Aquí se me puntualiza que exhiba la transformación, no sólo aplicarla, no entiendo a qué se refiere o qué debo hacer.

Luego viene la segunda parte donde

Para τ>0 | (t+τ),t∈T , n∈N y r_i∈{0,1,2} y ∑_(i=1)^n▒r_i ≤2

Para el proceso

X_t=β_1+β_2 t+Y_t
trasformado a
X_t=β_1+β_2+Y_t
β_1 y β_2 son constantes conocidas
{Y_t }_t es una sucesión de variables aleatorias no correlacionadas
E(Y_t )=0
VAR(Y_t )=σ^2.

Donde se sigue que:

VAR(X)=E[X^2 ]-σ^2
VAR(X)≥0
VAR(aX+b)=a^2 VAR(X) ⇒ VAR(b)=0| ∀ a y b ∈R
VAR(X+Y)=VAR (X)+VAR(Y)+2COV(X,Y)
VAR(X-Y)=VAR(X)+VAR(Y)-2COV(X,Y)

∴
VAR(X_v )=E[〖X^2〗_t ]-σ^2
X_t=β_1+β_2+Y_t

VAR(X_t )=E[(β_1+β_2+Y_t )^2 ]-σ^2

Sea β_1+β_2=γ

VAR(X_t )=E[(γ+Y_t )^2 ]-σ^2=E[γ^2+2γY_t+〖Y_t〗^2 ]-σ^2=γ^2+2γE[Y_t ]+E[〖Y_t〗^2 ]-σ^2=

γ^2+2γ(0)+σ^2- σ^2=(β_1+β_2 )^2

Sea el intervalo t+τ | E[Y_(t+τ) ]=0 y E[〖Y_(t+τ)〗^2 ]=σ^2

VAR(X_(t+τ) )=E[(γ+Y_(t+τ) )^2 ]-σ^2=E[γ^2+2γY_(t+τ)+〖Y_(t+τ)〗^2 ]-σ^2=
γ^2+2γE[Y_(t+τ) ]+E[〖Y_(t+τ)〗^2 ]-σ^2=γ^2+2γ(0)+σ^2- σ^2=(β_1+β_2 )^2

∴
VAR(X_t )=(β_1+β_2 )^2=VAR(X_(t+τ) )

∴
{X_t }={β_1+β_2+Y_t }
cumple con la definción de estacionario de segundo orden.
∎

Nuevamente se me idica que todo esta correcto pero que exhiba la transformación, sigo sin entender qué debo hacer.

¿Y que además me alta mostrar la condición sobre la covarianza?