Integral de Riemann-Stieltjes...Analisis Matematico!
Solicitando de su apoyo nuevamente, espero en esta ocasión de ser posible me ayudaran... Muchas gracias de antemano!
Sea f función continua y g de variación acotada, definimos I=[a,∞) definimos ∫_a^∞=lim∫_a^xfdg, cuando el límite existe, por el corolario 14:
Si f:[a, b] tiende a R, es continua y g:[a, b] tiende a R, es de variación acotada, entonces f es integrable con respecto a g. Cada integral dentro del límite existe, definimos g(x)=a_k para k-1<x≤k.
Muestra que cualquier serie infinita ∑_(k=1)^∞b_k se puede expresar como una integral de Riemann-Stieltjes.
1 respuesta
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Si tienes la teoría sobre esto deberías pasármela, el tema de Stieltjes yo no lo estudié.
Pero parece sencillo.
Tomaremos las funciones
f(x) = 1
y la función g esta definida por partes
g(x) = b_1·x si 0 <= x < 1
b_2·x si 1 <= x < 2
.....
b_n·x si n-1 <= x < n
Con lo cual la suma de la serie será
$$\begin{align}&\sum_{k=1}^{n}b_k=\int_0^n1·dg\\&\\&\sum_{k=1}^{\infty}b_k = \lim_{n\to \infty}\int_0^n1·dg=\int_0^{\infty}1·dg\end{align}$$Sobre la demostración de que g es de variación acotada hazlo como te hayan enseñado, ya no conozco esas funciones ni sus teoremas. Pero en cualquier intervalo [0, n] es de variación acotada ya que la suma de un número finito de términos finitos es finito.
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Y eso es todo.
