Demostración matemática sobre si una función continua p.c.t.
- Muestra que si f: ℝ tiende a ℝ es continua p.c.t., entonces f es una función medible.
Como f: ℝ tiende a ℝ es continua p.c.t.,
Definimos cualquier alfa real tal que f(x)>alfa
Entonces
El conjunto ℝx que satisfacen esto es f^-1((alfa,infinito))
Este conjunto es abierto y por ser f^-1 continua, su anti imagen es también un abierto y por el Teorema que dice:
Para cada función f:X tiende a ℝ, las siguientes proposiciones son equivalentes.
1. f es medible.
2. f^-1 ((a,b )) es medible para cada intervalo abierto acotado (a,b) de ℝ.
3. F^-1(C ) es medible para todo subconjunto cerrado C de ℝ.
4. F^-1(a, infinito)) es medible para todo a que pertenece ℝ.
5. F^-1(( -infinito,a) es medible para todo a que pertenece ℝ .
6. F^-1(B ) es medible para todo subconjunto de Borel B.
entonces es medible.
Como es continua p.c.t., puede haber puntos de discontinuidad, pero como estos forman un subconjunto de reales, su medida es cero.
Luego definamos a g: ℝ tiende a ℝ continua
∴
es medible.
Como es continua casi en todas partes, g=f c.p.t.,
por el teorema que dice:
Si f es una función medible y g: X tiende a ℝ satisface f=g p.c.t., entonces g es una función medible.
entonces
es una función medible
∎
¿es correcto?
Gracias
Lawra
