¿Cual es el conjunto de acumulación de la siguiente sucesión ?

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Por definición:

Un punto a es llamado punto de acumulación o punto límite de una sucesión an si toda vecindad del punto a contiene algún punto de la sucesión que sea distinto de a

Entre dos puntos de esta sucesiónn siempre existe un espacio porque son siempre distintos, tomando una bola con radio la mitad de ese espacio tendremos que la vecindad de un punto de la sucesión no tendra otro, luego ningún punto de la sucesión es de acumulación

Si tomamos cualquier punto distinto de (0,0,0) que no sea de la sucesión también podemos encontrar una bola de ese punto que no contenga ningún punto de la sucesión, luego cualquier otro punto distinto de (0,0,0) no es de acumulación.

Pero el punto (0,0,0) sí es de acumulación. Dada cualquier bola con centro en (0,0,0) de radio r por la propiedad arquimediana existe un j € N tal que

1/j < r/2

Tomando el punto (1/k, 1/m, 1/n) donde k, m y n son mayores que j tendremos que la distancia de ese punto a (0,0,0) es

$$\begin{align}&\sqrt{\frac 1{k^2}+\frac{1}{m^2}+\frac 1{n^2}}\lt \sqrt{\frac 1{j^2}+\frac{1}{j^2}+\frac 1{j^2}}=\\&\\&\frac 1j \sqrt 3 \lt \frac{r}{2} \sqrt 3\lt r\end{align}$$

luego es menor que r y está en la bola de radio r.  Luego para toda bola existe un un punto distinto de (0,0,0) que está dentro de su bola.  Luego (0,0,0) es punto de acumulación de esa sucesión.

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Y eso es todo.