Como debe cortarse el alambre de modo que el area total encerrada sea maxima y minima
Un trozo de alambre de 10m de largo se corta en 2 partes. Una se dobla en un cuadrado y la otra para formar un triangulo equilatero ¿como debe cortarse el alambre de modo que el area. Total sea maxima y minima?
2 respuestas
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Sea x el corte para el cuadrado. El corte para el triángulo será 10-x
El área del cuadrado es sencilla (x/4)^2= x^2/16, la del triángulo deberemos calcularla por Pitágoras o por trigonometría.
Como ya te lo han hecho por Pitágoras por trigonometría tenemos que la base es igual que la hipotenusa y entonces la altura es la base por el seno de 60º
$$\begin{align}&A_{tri}=\frac{bh}2=\frac{b·\left(\frac {\sqrt 3}{2}b \right)}{2}=\frac{\sqrt 3}{4}b^2\\&\\&\text{como }b=\frac{10-x}{3}\\&\\&A_{tri}=\frac{\sqrt 3}{4}\frac{(10-x)^2}{9}\\&\\&\text{Y el area total del cuadrado y triángulo es}\\&\\&A(x)=\frac{x^2}{16}+\frac{\sqrt 3(10-x)^2}{36}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&A'(x)=\frac x8 +\frac{\sqrt 3}{36}2(10-x)(-1)=\\&\\&\frac x8-\frac{\sqrt 3}{18}(10-x)=0\\&\\&18x-8 \sqrt 3(10-x)=0\\&\\&18x -80 \sqrt 3+8\sqrt 3x = 0\\&\\&x(18 + 8\sqrt 3) = 80 \sqrt 3\\&\\&x=\frac{80 \sqrt 3}{18+ 8\sqrt 3}=\frac{40 \sqrt 3}{9+4 \sqrt 3}=\\&\\&\frac{360 \sqrt 3-480}{81-48}=\frac{120(3 \sqrt 3-4)}{33}=\\&\\&\frac{40(3 \sqrt 3-4)}{11}\approx4.349645\\&\\&Recordemos que\\&A'(x)=\frac x8-\frac{\sqrt 3}{18}(10-x)=\\&\\&\left(\frac 18+\frac{\sqrt 3}{18}\right)x-\frac{10 \sqrt 3}{18}\\&\\&\text{luego}\\&\\&A''(x)=\frac 18+\frac{\sqrt 3}{18}\gt 0\\&\\&\text{por lo tanto es un mínimo y su valor es}\\&\\&A(4.349645)=\frac{4.349645^2}{16}+\frac{\sqrt 3(10-4.349645)^2}{36}=\\&\\&2.718528233\;m^2\\&\\&\\&\end{align}$$Una función continua y derivable en un intervalo cerrado alcanza sus maxímos o mínimos absolutos en los puntos críticos o en los extremos, veamos el valor de estos
$$\begin{align}&A(0)=\frac{0^2}{16}+\frac{\sqrt 3(10-0)^2}{36}=\\&\\&\frac{100 \sqrt 3}{36}\approx 4.8112522\;m^2\\&\\&A(10) = \frac{10^2}{16}+\frac{\sqrt 3(10-10)^2}{36}=\\&\\&\frac{100}{16}= 6.25\,m^2\end{align}$$Resumiendo:
El área máxima se consigue dejando los 10m para el cuadrado.
El área mínima se consigue cortando 4.349645 m para el cuadrado.
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Y eso es todo.
Alex, debes valorar la respuesta de Lucas, que es igual de excelente que la mía.
Tendrías que votar Excelente la pregunta de ayer
$$\begin{align}&A=x^2+\frac {1}{2}yh\\&\\&Pitágoras \ a \ medio \ triángulo \ equilátero\\&\\&h= \sqrt{y^2-(\frac{y}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}y\\&\\&A=x^2+\frac{1}{2}y·\frac{\sqrt{3}}{2}y=x^2+\frac{\sqrt 3}{4}y^2\\&\\& 4x+3y=10 \Rightarrow y=\frac{1}{3}(10-4x)\\&\\&A(x)=x^2+\frac{\sqrt 3}{4}·\frac{1}{9}(10-4x)^2\\&\\&A(x)=x^2+\frac{\sqrt 3}{36}(10-4x)^2\\&Dominio \ A(x)=(0,\frac{10}{4})\\&\\&A'(x)=2x+\frac{\sqrt 3}{36}·2(10-4x)(-4)=\\&\\&2x-\frac{8 \sqrt 3}{36}(10-4x)=\\&2x-\frac{2 \sqrt 3}{9}(10-4x)=\\&\\&A'(x)=x(2+\frac{8 \sqrt 3}{9})- \frac{20 \sqrt 3}{9}\\&A'(x)=x(2+\frac{8 \sqrt 3}{9})- \frac{20 \sqrt 3}{9}=0\\&\\&x=\frac{ \frac{20 \sqrt 3}{9}}{\frac {18+8 \sqrt 3}{9}}=\frac{10 \sqrt 3}{9+4 \sqrt 3}=1.0874\\&\\&\Rightarrow 4x=4.3496 m\\&\\&A'(1)<0 \ decreciente\\&A'(2)>0 \ creciente\\&Es \ un mínimo\\&\\&\\&Si x=0 \Rightarrow\Rightarrow triangulo equilátero \ de \ lado \ y=\frac{10}{3}\\&\Rightarrow Area=\frac{1}{2}(\frac{10}{3})^2·\frac{\sqrt 3}{2}=4.81 \ m^2\\&\\&Si \ x=\frac{10}{4} \Rightarrow A_{cuadrado}=(\frac{10}{4})^2=6.25 \ cm^2\\&Máximo\end{align}$$El mínimo se consigue cortando un trozo de 4.3496 para hacer un cuadrado y el resto el triángulo.
La máxima área se consigue utilizando los 10 metros para hacer solamente un cuadrado, (sin cortar la cuerda)